中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第10章课后习题详解Word格式文档下载.doc

1、应于从到的一段弧. 空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式.原式= .1. 计算曲线积分，其中为球面与平面的交线。 的参数方程不易求出，不好用空间间曲线第一类曲线积分公式，但满足，故总有. 即 原式= 1）利用被积函数定义在上，故总有，是常用的一种简化运算的方法.2） 为平面上的一个圆，圆心，半径为. 课后习题全解习题10-1 1. 设在面内有一分布着质量的曲线弧L，在点处它的线密度为，用对弧长的曲线积分分别表达： 1） 该曲线弧对轴、轴的转动惯量和； 2） 该曲线弧的质心坐标和.第一类曲线积分的概念及物理意义. 面内的一段曲线，其线密度为，则1）线段的质量为： 2）线段关于轴和轴的静力矩为

2、： 3）线段对轴和轴的转动惯量：由第一类曲线积分的概念及物理意义得 （1） , （2） 2. 计算，其中。 解：法一：原式= 法二：原式= .（利用性质2） 3. 计算，其中为连接，两点的直线。 解：直线方程为： 原式= 4计算，其中L为内摆线的弧。摆线的参数方程为：原式 5. 计算曲线积分，其中为螺旋线上相应于从到的一段弧。 6. 计算曲线积分，其中为折线,这里,依次为点，.如图， 原式= ： ：原式= . 7. 计算，其中为对数螺线在圆的内部。依题意： 得 .8. 计算曲线积分，其中为球面与平面的交线。 即 的参数方程为： 原式= 9. .求半径为、中心角为的均匀圆弧（线密度的质心.取扇形

3、的角平分线为轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，则圆弧的方程为：由图形的对称性和知，而 故质心在（）.10. 求螺旋线，对轴的转动惯量，设曲线的密度为常数.11. 设螺旋形弹簧一圈的方程为，其中，它的线密度. 求： （1） 螺旋形弹簧关于轴的转动惯量; （2） 螺旋形弹簧的重心.解:（1）（2） 螺旋形弹簧关于平面的静力矩分别为： 同法得： ., . 提高题1. 计算，其中为正向圆周，直线及轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界. 与在第一象限的交点为.如图： ; 则 原式2. 计算，其中为圆柱面与锥面的交线.，参数方程为 又故.（此题请核查）10.2 第二类曲线积分内容概要名称主要内容第二类曲线

4、积分1.平面曲线：2.空间曲线：常用的性质1其中表曲线的某一方向（正向）, 表曲面的另一方向（负向）2.若,则计算（平面曲线），起点，终点，其中具有一阶连续的导数，则（空间曲线）,起点，终点，其中具有一阶连续的导数，则 1. 计算，其中是为顶点的正方形的正向边界. 第一类曲面积分. 如图由四段直线段组成，故要分段积分. 如图 变化从到2计算曲线积分，其中为曲线上对应于从到的一段弧.原式 .课后习题全解习题10-2 1.计算，其中为与轴所围成的闭曲线，依顺时针方向.如图 其中变化从到， 变化从到,2.计算，其中为圆周上对应于从到的一段弧. 原式 3.计算曲线积分，其中为从经到点的那一段.4.计算

5、曲线积分，其中为圆周（按逆时针方向绕行）.圆的极坐标方程为： ，从变到原式= .5.计算，设，式中方向依参数增加的方向. .6.计算，其中为上对应7.计算，其中是从点到点的直线.直线的方向向量为， 故其参数方程为：从变到8.计算，其中为圆柱面与的交线，从轴正向看为逆时针方向.的参数方程为：,从变到9.在过点和的曲线族中，求一条曲线，该曲线从O到A的积分的值最小。从变到,令得（负号舍去） 为所求曲线。10.计算，其中分别为路线：（1） 直线; （2）抛物线: ; （3）三角形（1）直线方程：, 即从变到,（2） 抛物线: 从变到（3） , 从变到 从变到11.设为曲线上相应于从变到的一段曲线弧,

6、把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分。12.计算沿空间曲线对坐标的曲线积分，其中是与相交的圆，其方向沿曲线依次经过1，2，7，8挂限。的参数方程： 注：利用13.设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所作的功。 F=0,0,mg,g为重力加速度;记dr=, ,则功 14.质点沿以为直径的半圆周，从点运动至点的过程中，受到变力的作用，的大小等于点与原点之间的距离，其方向垂直于线段，且与轴正向的夹角小于，求变力对质点所作的功。依题意，从A点到B点半圆周的方程：则功 提高题1.计算，其中为上半椭圆周（按逆时针方向）. ,从变到此题可用直角坐标系求解，较用参数方程繁.10.3 格

7、林公式及其应用格林公式设及它们的一阶偏导数在闭域上连续，则其中是闭域的边界曲线，且取正向. 面积曲线积分与路径无关的等价条件1. 域内 处处成立.2. 沿域内的任一闭路积分为零，即3. 在域内存在函数，使曲线积分的牛顿莱布尼茨公式若域内，则内任意两点1. 计算 1） ; 2） .其中, , 是折线，是由到的直线段，如图.格林公式. 1），应用格林公式方便. 2） 这题并非闭路，不能直接用格林公式，为此增加辅助曲线构成可应用格林公式的闭曲线，随后再减去补上的这些曲线段上的线积分. 补上的这些曲线段上的线积分本身应易于计算.今补上（如图）.1）2） 如图 其中 （见本题1） 由变到，应用格林公式时

8、，除连续条件外，还要求： 1） 和是正向关系，本题1）的方向是反向的，故先改成正向，随后再用格林公式. 2） 注意公式中前是号，如本题改写成，此时不能误认为，而应是.2. 计算 ，其中为圆周的逆时针方向. ，应用格林公式方便,. 但因围的区域内含被积函数不连续的点，故要把不连续的点挖掉. 在包围的区域内作顺时针方向的小圆周变化从到 在与包围的区域上， 及格林公式，有因围的区域内含被积函数不连续的点，故此题不能直接用格林公式。习题10-3 1. 利用格林公式计算积分 其中为正向圆周曲线. 原式=2. 利用格林公式计算积分，其中顶点为和的正方形区域的正向边界。设围的区域为D:, 原式= .3. 计

9、算，其中是沿逆时真方向的椭圆。 解：设围的区域为D 原式= 注：利用二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有.4. 利用曲线积分，求星形线所围成图形的面积。由公式5. 求双纽线所围区域的面积。双纽线的极坐标方程为：由图形的对称性知：6. 计算 ，其中为圆周的顺时针方向。参数方程为：因围的区域内含被积函数不连续的点，故此题不能用格林公式。7. 计算，其中是在圆周上由到的一段弧。设,连接则围区域D , ，8. 计算，其中是位于第一象限中的直线与位于第二象限中的圆弧构成的曲线，方向是由到再到.连接则围区域,9.计算，其中从沿摆线到.设连接则围区域10. 计算，其中为包围有界闭区域得简单曲线，的面积为，n为的外法线方向.设沿逆时针方向的任意点的单位切向量（分别是与轴、轴正向夹角）.则 11.计算，其中为单位圆周的正向.