江苏省镇江市届高三第一次模拟考试数学Word版含答案Word文档下载推荐.docx
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0，x＋y＝＋，则x＋y的最小值为________．
13.已知圆O：
x2＋y2＝1，圆M：
（x－a）2＋（y－2）2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________．
14.设函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx（a，b，c∈R，a≠0）．若不等式xf′（x）－af（x）≤2对一切x∈R恒成立，则的取值范围为________．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB＋bcosC＝3acosB.
（1）求cosB的值；
（2）若|－|＝2，△ABC的面积为2，求边b.
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.
（1）求证：
BC⊥平面VCD；
（2）求证：
AD∥MN.
17.（本小题满分14分）
某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°
，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．
（1）求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；
（2）当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a（单位：
元/千米，a为常数）．记∠BDE＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．
18.（本小题满分16分）
已知椭圆C：
＋＝1（a>
b>
0）的长轴长为4，两准线间距离为4.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D（1，0），且与椭圆C相交于E，F两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若△AEF的面积为，求直线l的方程；
（3）已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k（k≠0），k′.求证：
k·
k′为定值．
19.（本小题满分16分）
设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a2a4＝64，数列{bn}满足：
对任意的正整数n，都有a1b1＋a1b2＋…＋anbn＝（n－1）·
2n＋1＋2.
（1）分别求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）若不等式λ…<
对一切正整数n都成立，求实数λ的取值范围；
（3）已知k∈N*，对于数列{bn}，若在bk与bk＋1之间插入ak个2，得到一个新数列{cn}．设数列{cn}的前m项的和为Tm，试问：
是否存在正整数m.使得Tm＝2019？
如果存在，求出m的值；
如果不存在，请说明理由．
20.（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝alnx－bx（a，b∈R）．
（1）若a＝1，b＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若a＝1，求函数y＝f（x）的单调区间；
（3）若b＝1，已知函数y＝f（x）在其定义域内有两个不同的零点x1，x2，且x1<
x2.不等式a<
（1－m）x1＋mx2（m>
0）恒成立，求实数m的取值范围.
2019届高三年级第一次模拟考试
（二）
数学附加题
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21.（本小题满分10分）
求函数y＝3cos的图象在x＝处的切线方程．
22.（本小题满分10分）
已知定点A（－2，0），点B是圆x2＋y2－8x＋12＝0上一动点，求AB中点M的轨迹方程.
23.（本小题满分10分）
在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D是BC的中点．
（1）求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值；
（2）求二面角B1DC1A1的余弦值．
24.（本小题满分10分）
已知x，y为整数，且x>
y>
0，θ∈，n为正整数，cosθ＝，sinθ＝，记An＝（x2＋y2）ncosnθ，Bn＝（x2＋y2）nsinnθ.
（1）试用x，y分别表示A1，B1；
（2）用数学归纳法证明：
对一切正整数n，An均为整数．
2019届高三年级第一次模拟考试
（二）（镇江）
数学参考答案
1.{0，2} 2.{x|x≤2} 3. 4.8 5.6. 7. 8.（2，3） 9.－ 10.11. 12.3 13.[－2，2] 14.
15.
（1）由正弦定理＝＝，（1分）
且ccosB＋bcosC＝3acosB，得sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosB，（3分）
则3sinAcosB＝sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sinA，（5分）
又A∈（0，π），则sinA>
0，（6分）
则cosB＝.（7分）
（2）因为B∈（0，π），则sinB>
0，sinB＝＝＝.（9分）
因为|－|＝||＝c＝2，（10分）
又S＝acsinB＝a×
2×
＝2，
解得a＝3.（12分）
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋4－2×
3×
＝9，则b＝3.（14分）
故边b的值为3.
16.
（1）在四棱锥VABCD中，
因为VD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以VD⊥BC.（3分）
因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.（4分）
又CD⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，CD∩VD＝D，
则BC⊥平面VCD.（7分）
（2）因为底面ABCD是矩形，所以AD∥BC，（8分）
又AD⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，
则AD∥平面VBC，（11分）
又平面ADNM∩平面VBC＝MN，AD⊂平面ADNM，
则AD∥MN.（14分）
17.
（1）因为三楼宇间的距离都为2千米，
所以AB＝AC＝BC＝2，（1分）
因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°
，
所以∠BDC＝120°
，（2分）
在△BDC中，因为BC2＝BD2＋DC2－2BD·
DC·
cos∠BDC，（3分）
所以22＝BD2＋CD2－2BD·
CD·
cos120o＝BD2＋CD2＋BD·
CD≥2BD·
CD＋BD·
CD＝3BD·
CD，
则BD·
CD≤，（4分）
当且仅当BD＝CD时等号成立，
此时∠DBC＝∠DCB＝30°
，BD＝CD＝＝.
区域最大面积S＝S△ABC＋S△BCD＝×
sin60°
＋BD·
sin120°
＝（平方千米）．（7分）
（或者：
因为直角三角形△ABD，△ACD全等，区域最大面积S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2×
AB·
BD＝（平方千米）．（7分））
（2）设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元，
在Rt△BDE中，由
（1）知，∠BDE＝θ∈，（8分）
则DE＝，BE＝tanθ，AE＝AB－BE＝2－tanθ，（9分）
所以y＝2a·
ED＋a·
AE＝2a＋a·
＝＋2a，θ∈.（10分）
记f（θ）＝，令f′（θ）＝＝0，
解得θ＝∈.（11分）
当θ∈时，f′（θ）<
0，函数f（θ）为减函数；
当θ∈时，f′（θ）>
0，函数f（θ）为增函数．
所以当θ＝时，f（θ）取最小值，
此时ymin＝4a（元）．（12分）
答：
（1）四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为平方千米；
（2）铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元．（14分）
18.
（1）由长轴长2a＝4，准线间距离2×
＝4，
解得a＝2，c＝，（2分）
则b2＝a2－c2＝2，
即椭圆方程为＋＝1.①（4分）
（2）若直线l的斜率不存在，则EF＝，
△AEF的面积S＝AD·
EF＝不合题意；
（5分）
若直线l的斜率存在，设直线l：
y＝k（x－1），②代入①得，
（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－4＝0，③
因为点D（1，0）在椭圆内，所以Δ>
0恒成立．
设点E（x1，y1），F（x2，y2），
则x1，2＝，④（6分）
EF＝＝|x1－x2|＝·
.（7分）
点A到直线l的距离d为，（8分）
则△AEF的面积S＝d·
EF＝·
·
＝＝，（9分）
解得k＝±
1.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.（10分）
（3）设直线AE：
y＝（x＋2），
令x＝3，得点M，
同理可得点N，
所以点Q的坐标为.（12分）
所以直线QD的斜率为k′＝，（13分）
而＋＝＋＝
k.（14分）
由
（2）中③得，x1＋x2＝，x1x2＝，代入上式得，（15分）
＋＝k＝
＝－.
则k′＝－，
所以k·
k′＝－为定值．（16分）
19.
（1）设等比数列{an}的公比为q（q>
0），
因为a1＝2，a2a4＝a1q·
a1q3＝64，
解得q＝2，则an＝2n.（1分）
当n＝1时，a1b1＝2，则b1＝1，（2分）
当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝（n－1）·
2n＋1＋2，①
a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝（n－2）·
2n＋2，②
由①－②得，anbn＝n·
2n，则bn＝n.
综上，bn＝n.（4分）
（2）不等式λ…<
对一切正整数n都成立，
即λ…<
因为…>
0，
当λ≤0时，不等式显然成立；
当λ>
0时，则不等式等价于…<
设f（n）＝（1－）（1－）…（1－），
则
＝
＝＝<
1.（7分）
所以f
（1）>
f
（2）>
f（3）>
…>
f（n）>
…，
所以>
f（n）max＝f
（1）＝，
则0<
λ<
综上λ<
.（8分）
（3）在数列{cn}中，从b1至bk（含bk项）的所有项和是：
（1＋2＋3＋…＋k）＋（21＋22＋…＋2k－1）×
2＝＋2k＋1－4.（10分）
当k＝9时，其和是45＋210－4＝1065<
2019，
当k＝10时，其和是55＋211－4＝2099>
2019，（12分）
又因为2019－106
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