完整版三次函数专题docxWord格式.docx

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证明：

设函数的对称中心为（m，n）。

按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以

化简得：

上式对恒成立，故，得，

。

所以，函数的对称中心是（）。

可见，y＝f（x）图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的

中点，同时也是二阶导为零的点。

1

3、三次方程根的问题。

（1）当△=42

12

ac

时，由于不等式

f

（x）

0恒成立，函数是单调递增的，所以原

b

方程仅有一个实根。

（2）当△=4b2

12ac

0时，由于方程

0有两个不同的实根

x1,x2，不妨设

x1x2，可知，（x1,f（x1））为函数的极大值点，

（x2,f（x2））为极小值点，且函数yf（x）

在（,x1）和（x2,）上单调递增，在x1,x2上单调递减。

此时：

①若f（x1）f（x2）0，即函数yf（x）极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴

只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

②若f（x1）f（x2）0，即函数yf（x）极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与x

轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③若f（x1）f（x2）0，即f（x1）与f（x2）中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个

实根，其中两个相等。

4、极值点问题。

若函数f（x）在点x0的附近恒有f（x0）≥f（x）（或f（x0）≤f（x）），则称函数f（x）在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。

当0时，三次函数yfx在,上的极值点要么有两个。

当0时，三次函数yfx在,上不存在极值点。

5、最值问题。

函数若，且

，则：

fmaxxfm,fx0,fn；

三、例题讲解：

例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数

3

2

f（x）=x-3ax

+3x+1。

（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；

（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求

a的取值范围。

解：

5

①式无解，②式的解为4

a

因此a的取值范围是4

，

3，

3.

例2、已知函数f（x）满足f（x）x3

f'

2x2

xC（其中C为常数）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若方程f（x）

0有且只有两个不等的实数根，求常数

C；

（3）在

（2）的条件下，若f0，求函数f（x）的图象与x轴围成的封闭

图形的面积．

（1）由f（x）

x3

2x2

xC，得f'

（x）3x2

2f'

2x1．

2，得f'

取x

1，解之，得f'

1，

∴

xx3

x2

x

C

．

（）

从而f'

（x）

3x2

2x

1x

列表如下：

（

1）

1,1）

（1,

）

（x）

＋

－

f（x）

↗

有极大值

↘

有极小值

∴f（x）的增区是

（,

1）和（1,

）；

f（x）的减区是

（1

1）．

（2）由

（1）知，[f（x）]极大值

1C

[f（x）]极小值f

（1）1

11C

27

∴方程f（x）

0有且只有两个不等的数根，等价于[f（x）]极大值

0或

[f（x）]极小值

．⋯⋯⋯8分

∴常数C

5或C

1．

（3）由

（2）知，f（x）

x3

x2

或f（x）

而f

0，所以f（x）

令f（x）

10，得（x1）2（x

1）0，x1

1，x2

1．

1x4

1x3

1x2

4．

∴所求封形的面

1dx

4

例3、（恒成立问题）已知函数f（x）

cx

d有极．

（1）求c的取范；

（2）若f（x）在x

2取得极，且当x

0，f（x）

d2

2d恒成立，求d的

6

取范．

（1）∵f（x）

1x2

d，∴f

c，

要使f（x）有极，方程f

c

有两个数解，

从而△＝1

4c0，∴c

（2）∵f（x）在x

2取得极，

∴f

（2）

0，

∴c

2．

∴f（x）

2xd，

∵f（x）

（x

2）（x1），

∴当x

1]，f（x）

0，函数增，

当x

1,2]

，f

，函数减．

∴x

0，f（x）在x

1取得最大7

d，

∵x

，f（x）

1d2

2d恒成立，

∴7

d

1d2

2d