完整版三次函数专题docxWord格式.docx

1、证明：设函数 的对称中心为（ m， n）。按向量 将函数的图象平移， 则所得函数 是奇函数， 所以化简得：上式对 恒成立，故 ，得 ，。所以，函数 的对称中心是（ ）。可见， y f（x） 图象的对称中心在导函数 y 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。13、三次方程根的问题。（ 1）当 = 4 212ac时，由于不等式f（x）0 恒成立，函数是单调递增的，所以原b方程仅有一个实根。（ 2 ）当 = 4b212ac0 时，由于方程0 有两个不同的实根x1 , x2 ，不妨设x1 x2 ，可知， （x1, f （x1 ） 为函数的极大值点，（ x2 , f （x2 ） 为

2、极小值点， 且函数 y f （x）在 （ , x1 ） 和 （ x2 , ） 上单调递增，在 x1 , x2 上单调递减。此时：若 f （x1 ） f （ x2 ） 0 ，即函数 y f （x） 极大值点和极小值点在 x 轴同侧，图象均与 x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 若 f （ x1 ） f （ x2 ） 0 ，即函数 y f （x） 极大值点与极小值点在 x 轴异侧，图象与 x轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。 若 f （x1 ） f （ x2 ） 0 ，即 f （x1 ） 与 f （ x2 ） 中有且只有一个值为 0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。4、

3、极值点问题。若函数 f（x） 在点 x0 的附近恒有 f（x 0） f（x） （ 或 f（x 0） f（x） ，则称函数 f（x） 在点 x0 处取得极大值（或极小值） ，称点 x0 为极大值点（或极小值点） 。当 0 时，三次函数 y f x 在 , 上的极值点要么有两个。当 0 时，三次函数 y f x 在 , 上不存在极值点。5、最值问题。函数 若 ，且，则： fmax x f m , f x0 , f n ；三、例题讲解：例 1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数32f （ x） =x -3ax+3x+1。（）设 a=2，求 f （ x）的单调期间；（）设 f （ x）在区

4、间（ 2,3 ）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。解：5式无解，式的解为 4a因此 a 的取值范围是 4，3 ，3 .例 2、 已知函数 f （x） 满足 f （ x） x3f 2 x 2x C （其中 C 为常数）（ 1）求函数 f （x） 的单调区间；（ 2）若方程 f （x）0 有且只有两个不等的实数根，求常数C ；（ 3）在（ 2）的条件下，若 f 0 ，求函数 f （x） 的图象与 x 轴围成的封闭图形的面积（ 1）由 f （ x）x3 2 x2x C ，得 f （ x） 3x 22 f 2 x 1 2 ，得 f 取 x1 ，解之，得 f 1 ，x x3x 2xC（ ）从而 f

5、（ x）3x22x1 x列表如下：（,1）1 , 1）（1,） （ x）f （x）有极大值有极小值 f （ x） 的 增区 是（ ,1） 和 （1 ,） ； f （ x） 的 减区 是（ 1,1） （2）由（ 1）知， f （ x） 极大值1 C f （ x） 极小值 f （1） 11 1 C27 方 程 f （x）0 有且 只有 两 个不 等的 数 根， 等价 于 f （ x） 极大值0 或 f （x） 极小值 8 分常数 C5 或 C1（3）由（ 2）知， f （ x）x 3x2或 f （x）而 f0 ，所以 f （ x）令 f （ x）1 0 ，得 （ x 1） 2 （ x1） 0 ，

6、x11， x21 1 x 41 x31 x 24 所求封 形的面 1 dx4例 3、（恒成立问题） 已知函数 f （ x）cxd 有极 （ 1）求 c 的取 范 ；（ 2）若 f （x） 在 x2 取得极 ， 且当 x0 ， f （x）d22d 恒成立，求 d 的6取 范 （ 1） f （x）1 x2d ， fc ，要使 f （ x） 有极 ， 方程 fc有两个 数解，从而 14c 0 ， c（ 2） f （ x） 在 x2 取得极 ， f（2）0 ， c2 f （ x）2x d ， f （ x）（ x2）（ x 1） ，当 x1 ， f （x）0 ，函数 增，当 x1,2 ， f，函数 减 x0 ， f （x） 在 x1 取得最大 7d ， x ， f （x）1 d22d 恒成立， 7d1 d 22d