直线一级倒立摆的仿真分析Word版Word格式.docx
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小车质量
m
摆杆质量
b
小车摩擦系数
l
摆杆转动轴心到杆质心的长度
I
摆杆惯量
F
加在小车上的力
x
小车位置
摆杆与垂直向上方向的夹角
摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
图1直线一级倒立摆模型
图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
图2小车及摆杆受力分析图
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程:
（1）
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:
（2）
即:
（3）
把这个等式代入
（1）式中，就得到系统的第一个运动方程:
（4）
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，
可以得到下面方程:
（5）
（6）
力矩平衡方程如下:
（7）
注意:
此方程中力矩的方向，由于,故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去
P和N，得到第二个运动方程:
（8）
设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即<
<
1，则可以进行近似处理:
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下:
（9）
对方程组（9）式进行拉普拉斯变换，得到方程组:
（10）
推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度，求解方程组的第一个方程，可以得到:
（11）
如果令,则有:
（12）
把上式代入方程组的第二个方程，得到:
（13）
整理后得到传递函数:
（14）
其中
设系统状态空间方程为:
（15）
方程组对解代数方程，得到解如下:
（16）
整理后得到以外界作用力（u来代表被控对象的输入力F）作为输入的系统状态方程:
（17）
（18）
由方程组（9）得第一个方程为:
（19）
对于质量均匀分布的摆杆有:
（20）
于是可以得到:
（21）
化简得到:
（22）
设,则可以得到以小车加速度作为输入的系统状态方程:
（23）
（24）
以小车加速度为控制量，摆杆角度为被控对象，此时系统的传递函数为:
（25）
表1.2便携式直线一级倒立摆实际系统的物理参数
摆杆质量m
摆杆长度L
摆杆转轴到质心长度l
重力加速度g
0.0426
0.305
0.152
9.81
将表1.1中的物理参数代入上面的系统状态方程和传递函数中得到系统精确模型。
系统状态空间方程:
（26）
（27）
系统传递函数
（28）
二、系统的阶跃响应分析与可控性分析
2.1系统阶跃响应分析
上面已经得到系统的状态方程式，对其进行阶跃响应分析，在MATLAB指令区中键入以下命令:
其阶跃响应曲线如图：
图3小车位置和摆杆角度阶跃响应曲线
可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的，即未校正前的系统是不稳定的。
2.2系统可控性分析
由（26）式和（27）式可以得到:
在MATLAB中计算对应的秩。
MATLAB计算过程如下:
从计算结果可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩4等于系统的状态变量维数4，系统的输出完全可控性矩阵的秩2等于系统输出向量y的维数2，所以系统是可控的，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。
三、根轨迹校正实验
闭环系统瞬态响应的基本特性与闭环极点的位置紧密相关，如果系统具有可变的环路增益，则闭环极点的位置取决于所选择的环路增益，从设计的观点来看，对于有些系统，通过简单的增益调节就可以将闭环极点移到需要的位置，如果只调节增益不能满足所需要的性能时，就需要设计校正器，常见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等。
当系统的性能指标以时域形式提出时，通常用根轨迹法对系统进行校正。
【3】基于根轨迹法校正的基本思想是：
假设系统的动态性能指标可由靠近虚轴的一对共轭闭环主导极点来表征，因此，可把对系统提出的时域性能指标的要求转化为一对期望闭环主导极点。
确定这对闭环主导极点的位置后，首先根据绘制根轨迹的相角条件判断一下它们是否位于校正前系统的根轨迹上。
如果这对闭环主导极点正好落在校正前系统的根轨迹上，则无需校正，只需调整系统的根轨迹增益即可；
否则，可在系统中串联一个超前校正装置:
（29）
通过引入新的开环零点和新的开环极点来改变系统原根轨迹的走向，使校正后系统的根轨迹经过这对期望闭环主导极点。
3.1根轨迹分析
前面我们已经得到了直线一级倒立摆系统的开环传递函数，输入为小车的加速度，输出为倒立摆系统摆杆的角度，被控对象的传递函数为：
可知系统没有零点，有两个极点。
画出系统传递函数的根轨迹如图1-8所示，可以看出传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左到位于原点的零点处，然后沿着虚轴向上，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。
MATLAB绘制未校正前的系统根轨迹程序如下:
其根轨迹如图：
图4未校正前的系统开环根轨迹
MATLAB绘制未校正前的闭环系统阶跃响应曲线程序如下:
3.2根轨迹校正器设计及仿真
直线一级倒立摆的根轨迹校正可以转化为如下的问题【11】：
对于传递函数为：
的系统，设计控制器使得校正后系统的性能指标如下：
1.调节时间；
2.最大超调量；
根轨迹设计步骤【5】如下：
1.确定闭环期望极点的位置，由最大超调量：
（30）
可以得到，取，由得rad，其中为位于第二象限的极点和原点的连线与实轴负方向的夹角。
所编程序为：
图5性能指标与根轨迹关系图
又由，可以得到，取，于是可以得到期望的闭环极点=。
2.未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为：
3.计算超前校正装置应提供的相角，已知系统原来的极点在主导极点产生的滞后相角和为：
（31）
所以一次校正装置提供的相角为：
4.设计超前校正装置，已知，对于最大的值的角度：
图6根轨迹校正计算图
求出超前校正装置的零点和极点，分别为：
程序如下：
校正后系统的开环传递函数为：
（32）
5.由幅值条件，并设反馈为单位反馈，即。
（33）
求得：
6.于是我们得到了系统的控制器：
（34）
校正后系统的根轨迹如下图所示：
图7校正后系统根轨迹
校正后的系统阶跃响应曲线如下图所示：
图8超前校正后系统阶跃响应曲线
可以看出，系统有较好的稳定性，但系统存在较大的稳态误差，所以只通过超前校正设计的校正器并不是最优的，为使稳态性能满足要求，可以通过在串联滞后校正器的方法。
滞后校正器设计如下：
但由于能力有限，通过反复试验依旧未能将滞后器设计成功，所以最后放弃了这种方法。
但分析超前控制器中的Kc，a，b变化规律，发现以下结论：
1增益Kc↑，超调量↑；
调节时间↑；
最终稳态值↑。
2a↑,超调量↑；
3b↑,超调量↓；
调节时间↓；
最终稳态值↓。
为了使系统最终达到设计要求，对校正器不停的修改：
图9不同k，a，b阶跃图
最后使得当Kc=3000，a=10，b=200时，得到以下图满足设计要求。
图
图10超前校正后系统阶跃响应曲线
四、频率响应校正实验
系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。
在频率响应方法中，我们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。
频率响应可以采用以下两种比较方便的方法进行分析，一种为bode图或对数坐标图，bode图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表示相角和频率的关系；
一种是极坐标图，极坐标图表示的是当从0变化到无穷大时，向量端点的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性。
【4】
4.1频率响应分析
由直线一级倒立摆的传递函数绘制系统的波特图和奈奎斯特图。
图11系统波特图
从上图可知系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半S平面，根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：
当从-∞到+∞变化时，开环传递函数沿逆时针方向包围-1点p圈，其中p为开环传递函数在右半S平面内的极点数。
对于直线一级倒立摆，由图我们可以看出，开环传递函数在S右半平面有一个极点，因此需要沿逆时针方向包围-1点一圈。
可以看出，系统的奈奎斯特图并没有逆时针绕-1点一圈，因此系统不稳定，需要设计控制器来稳定系统。
4.2频率响应校正器设计
直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题。
考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为：
设计控制器，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为，增益裕量等于或大于10分贝。
根据要求，控制器设计如下：
1.选择控制器，上面我们已经得到了系统的波特图，可以看出，给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：
（35）
已知校正系统具有开环传递函数
设：
（式中）
2.根据稳态误差要求计算增益：
计算可得：
于是有：
（36）
图12增加增益后系统波特图
3.可以看出，系统的相位裕量为0o，根据设计要求，系统的相位裕量为50o，因此需要增加的相位裕量为50o，增加超前校正装置会改变波特图的幅值曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的的相位滞后增量进行补偿，因此，假设需要的最大相位超前量近似等于55o。
，求得：
4.确定未校正系统幅值，由波特图确定幅值对应的频率，我们选择此频
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