高考数学专题复习立体几何(理科)练习题Word文档下载推荐.doc
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②求异面直线与所成的角;
③求点C到截面的距离.
4.如图,三棱锥P—ABC中,PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD平面PAB.
(I)求证:
AB平面PCB;
(II)求异面直线AP与BC所成角的大小;
(III)求二面角C-PA-B的余弦值.
5.如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证AE⊥平面BCE;
(2)求二面角B—AC—E的余弦值.
6.已知正三棱柱的底面边长为2,点M在侧棱上.
(Ⅰ)若P为AC的中点,M为BB1的中点,求证BP//平面AMC1;
(Ⅱ)若AM与平面所成角为,试求BM的长.
P
7.如图,在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,BC=2.
平面PDC⊥平面PAD;
(2)若E是PD的中点,求异面直线AE
与PC所成角的余弦值;
8.已知:
在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=a,AA1=2a.D是侧棱BB1的中点.求证:
(Ⅰ)求证:
平面ADC1⊥平面ACC1A1;
(Ⅱ)求平面ADC1与平面ABC所成二面角的余弦值.
9.已知直四棱柱的底面是菱形,且,为
棱的中点,为线段的中点.
(Ⅰ)求证:
直线平面;
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)求平面与平面所成二面角的大小
10.棱长是1的正方体,P、Q分别是棱AB、CC1上的内分点,满足.
A1P⊥平面AQD;
(2)求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值.
Q
D1C1
A1B1
DC
AB
11.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是线段B1D1、A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.
(1)求证:
EF∥AC1;
(2)若EF是两异面直线B1D1、A1B的公垂线段,求证该长方体为正方体.
D1C1
A1B1
DC
AB
12.如图,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB,点E、M分别为A1B、C1C的中点,过点A1,B,M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.
(Ⅰ)求证:
EM∥平面A1B1C1D1;
(Ⅱ)求二面角B—A1N—B1的正切值.
参考答案
1.
(1)证明:
因为E、F分别为D1C1和B1C1的中点,
所以,又,所以四边形是平行四边形,
故,,
所以E、F、D、B四点共面.
(2),确定平面,
又,而,又,
而面,,即P,Q,R三点共线.
2.证明:
过作平面,使
∵∥,⊂,,∴∥
又∵⊄,⊂,∴∥且∥
又、异面,∴与必相交,∴∥.
3.解
(1)
(2)
(3)
,
4.(I)证明:
(I)∵PC平面ABC,平面ABC,
∴PCAB
∵CD平面PAB,平面PAB,
∴CDAB.又,
∴AB平面PCB.
(II)由(I)AB平面PCB,∵PC=AC=2,又∵AB=BC,可求得BC=.
以B为原点,如图建立坐标系.则
A(0,,0),B(0,0,0),C(,0,0),P(,0,2).
,.则+0+0=2.
==.
∴异面直线AP与BC所成的角为.
(III)设平面PAB的法向量为m=(x,y,z).,,
则即解得
令=-1,得m=(,0,-1).
设平面PAC的法向量为n=().
,,
则即
解得令=1,得n=(1,1,0).
=.
∴二面角C-PA-B的余弦值为
5.
(1)证明平面ACE.
∵二面角D—AB—E为直二面角,且,
平面ABE.
(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,
AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立
空间直角坐标系O—xyz,如图.
面BCE,BE面BCE,
,在的中点,
设平面AEC的一个法向量为,
则 解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为,
∴二面角B—AC—E的余弦值为
6.(Ⅰ)证明:
连AC1、MC1,
取AC1的中点G,连MG,
则PG//BM且PG=BM=
故四边形PGMB为平行四边形,BP//MG,
又,
,
BP//平面AMC1
(II)建立如图的空间直角坐标系
设,
则点M的坐标为,,
平面的一个法向量为.
由题意得,
故
7.解:
以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,
AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),
B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),
E(0,1,).
∴=(-1,0,0),=(0,2,0),=(0,0,1),
=(0,1,),=(1,2,-1),
(1)平面PDC⊥平面PAD.
(2)∵cos==,
∴所求角的余弦值为.
8.
解(Ⅰ)以A点为原点,AA1为z轴,AB为y轴,过A点与AB垂直的直线为x轴,如图建立空间直角坐标系.则
A(0,0,0)B(0,a,0)C()
D(0,a,a)C1()
取AC1的中点M,则M点坐标为(a,a,a)
=(0,a,a)
=(0,a,0)
∴AC1⊥DM,AC⊥DM
∴DM⊥平面ACC1A1
又DM平面ADC1
∴平面ADC1⊥平面ACC1A1
(Ⅱ)设平面ADC1的法向量=(x,y,z)
·
(x,y,z)=0=(0,a,a)·
(x,y,z)=0
即
不妨取平面ABC的法向量为=(0,0,2a)
平面ABC的平面ADC1的夹角为
∴cos==
9.解:
设ACBD=O,因为M、O分别为C1A、CA的中点,
所以,MO//C1C,又由直四棱柱知C1C⊥平面ABCD,
所以,MO⊥平面ABCD.在菱形ABCD中,BD⊥AC,
所以,OB、OC、OM两两垂直.故可以O为原点,OB、
OC、OM所在直线分别为轴、轴、轴,如图
建立空间直角坐标系,若设|OB|=1,则B(1,0,0),
B1(1,0,2),A(0,,0),C(0,,0),
C1(0,,2).
(I)由F、M分别为B1B、C1A的中点可知:
F(1,0,1),
M(0,0,1),所以(1,0,0)=
又与不共线,所以,MF∥OB.
平面ABCD,OB平面ABCD,
∥平面ABCD
(II)(1,0,0),而(1,0,0)为平面(即平面ACC1A1)的法向量.
所以,平面MF⊥平面ACC1A1.
(III)为平面ABCD的法向量,
设的一个法向量,则
.
设平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为,
则
所以=30°
.即平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°
10.解
(1)以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别
为x、y、z轴建立空间直角坐标系0-xyz,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),
A1(1,0,1),C1(0,1,1),P(1,),Q(0,1,),
,
,
.
(2)设PQ与平面AQD所成角为θ,
则直线PQ与平面AQD所成角的正弦值是
11.DC
z
(1)如图,以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,
建立空间直角坐标系.设DA=a,DC=b,DD1=c,
则E(a,b,c),F(a,b,c),A(a,0,0),C1(0,b,c).
∵FE与AC1不共线,∴FE∥AC1.
(2)∵D1(0,0,c),B1(a,b,c),A1(a,0,c),B(a,b,0),
∴
∵EF是两异面直线B1D1、A1B的公垂线段,∴EF⊥B1D1,EF⊥A1B.
∴-a2+b2=0,b2-c2=0,∴a=b=c.
∴该长方体为正方体.
12.(Ⅰ)建立如图所示空间直角坐标系,设AB=2a,AA1=a(a>
0),则
A1(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,a)
∵E为A1B的中点,M为CC1的中点∴E(2a,a,),M(0,2a,)
∴EM//A1B1C1D1
(Ⅱ)设平面A1BM的法向量为=(x,y,z),
又=(0,2a,-a)由,得
而平面A1B1C1D1的法向量为.设二面角为,则
又:
二面角为锐二面角
从而.
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