高中文科数学函数复习文档格式.docx
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2.函数的相等：
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数
3.映射的定义：
一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:
A→B
由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集
4.映射的概念中象、原象的理解：
（1）A中每一个元素都有象且唯一;
（2）B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象
5.函数的三种表示法
（1）解析法：
就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式
（2）列表法：
就是列出表格来表示两个变量的函数关系
（3）图象法：
就是用函数图象表示两个变量之间的关系
6.求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：
待定系数法；
（2）已知
求
或已知
：
换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）
满足某个等式，这个等式除
外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等
题型讲解
例1
（1）已知
，求
；
（配凑法）
是一次函数，且满足
（3）已知
满足
（方程组法）
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求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：
函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：
函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
的定义域求
的定义域或已知
的定义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；
②若已知
的定义域
，其复合函数
的定义域应由
解出
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求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的
其类型依解析式的特点分可分三类：
（1）求常见函数值域；
（2）求由常见函数复合而成的函数的值域；
（3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
①直接法：
利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b（a
0）的定义域为R，值域为R；
反比例函数
的定义域为{x|x
0}，值域为{y|y
0}；
二次函数
的定义域为R，
当a>
0时，值域为{
}；
当a<
}
②配方法：
转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
常转化为型如：
的形式；
③分式转化法（或改为“分离常数法”）
④换元法：
通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：
转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：
转化成型如：
，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：
函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域
⑧数形结合：
根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域
⑨逆求法（反求法）：
通过反解，用
来表示
，再由
的取值范围，通过解不等式，得出
的取值范围；
常用来解，型如：
函数单调性
1
证明函数单调性的一般方法:
①定义法：
设
作差
，判断正负号
②用导数证明：
若
在某个区间A内有导数，则
在A内为增函数；
在A内为减函数
2
求单调区间的方法：
定义法、导数法、图象法
3
复合函数
在公共定义域上的单调性：
①若f与g的单调性相同，则
为增函数；
②若f与g的单调性相反，则
为减函数
注意：
先求定义域，单调区间是定义域的子集
4
一些有用的结论：
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数
是增函数；
减函数
是减函数；
是减函数
④函数
在
上单调递增；
上是单调递减
函数奇偶性
奇偶函数的性质：
（1）定义域关于原点对称；
（2）偶函数的图象关于
轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
为偶函数
若奇函数
的定义域包含
，则
判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；
5
牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；
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判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：
，
的定义域分别是
，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇
奇=偶，偶+偶=偶，偶
偶=偶，奇
偶=奇
判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：
f（-x）=±
f（x）⇔f（-x）
f（x）=0；
讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点；
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性
函数周期性
定义：
若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使
恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期
反函数
反函数存在的条件：
从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；
定义域、值域：
反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若
与
互为反函数，函数
的定义域为
、值域为
单调性、图象：
互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于
对称
求反函数的一般方法：
（1）由
，
（2）将
中的
互换位置，得
，（3）求
的值域得
二次函数的图象及性质:
的图象的对称轴方程是
，顶点坐标是
二次函数的解析式的三种形式：
用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即
和
（顶点式）
根分布问题:
一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：
令f（x）=ax2+bx+c（a>
0）
（1）x1<
α,x2<
α,则
;
（2）x1>
α,x2>
α,则
（3）α<
x1<
β,α<
x2<
β,则
（4）x1<
β（α<
β）,则
（5）若f（x）=0在区间（α,β）内只有一个实根，则有
最值问题：
二次函数f（x）=ax2+bx+c在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：
（1）对称轴-b/（2a）在区间左边，函数在此区间上具有单调性；
（2）对称轴-b/（2a）在区间之内;
（3）对称轴在区间右边
要注意系数a的符号对抛物线开口的影响
二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：
①
f（x）=ax2+bx+c的图像与x轴无交点
ax2+bx+c=0无实根
ax2+bx+c>
0（<
0）的解集为
或者是R;
②
f（x）=ax2+bx+c的图像与x轴相切
ax2+bx+c=0有两个相等的实根
③
f（x）=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点
ax2+bx+c=0有两个不等的实根
或者是
指数对数函数
根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，（
）
=a
②当n为奇数时，
=a；
当n为偶数时，
=|a|=
⑶根式的基本性质：
，（a
0）
分数指数幂的运算性质：
的图象和性质
a>
0<
a<
图象
性质
（1）定义域：
R
（2）值域：
（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在R上是增函数
（4）在R上是减函数
指数式与对数式的互化：
重要公式：
对数恒等式
对数的运算法则
如果
有
对数换底公式：
（a>
0,a≠1，m>
0,m≠1,N>
两个常用的推论:
，
②
（a,b>
0且均不为1）
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对数函数的性质：
图
象
性
质
定义域：
值域：
过点（1，0），即当
时，
时
时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
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同底的指数函数
与对数函数
互为反函数
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指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）=b⇔f（x）=logab,logaf（x）=b⇔f（x）=ab（定义法）
（2）af（x）=ag（x）⇔f（x）=g（x）,logaf（x）=logag（x）⇔f（x）=g（x）>
0（转化法）
（3）af（x）=bg（x）⇔f（x）logma=g（x）logmb（取对数法）
（4）logaf（x）=logbg（x）⇔logaf（x）=logag（x）/logab（换底法）
幂函数
（定义域与
有关）（
过定点：
（1,1）
图形的形状位置：
在第一象限
函数图象变换
作图方法：
描点法和利用基本函数图象变换作图；
作函数图象的步骤：
①确定函数的定义域；
②化简函数的解析式；
③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；
④描点连线，画出函数的图象
三种图象变换：
平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
识图：
分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面
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