江苏省镇江市届高三高考适应性测试数学卷5Word格式.docx

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，且

则

10．直线

通过点

则

的取值范围为

11．已知

有最小值，无最大值，则

__________．

12.在区间

上满足不等式

的解有且只有一个，则实数

13．在△

，H在BC边上，则过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为

14.已知数列

满足：

（

为正整数），

，若

所有可能的取值为

二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）

15.（14分）设函数

的最大值为

，最小值为

其中

．

（1）求

、

的值（用

表示）；

（2）已知角

的顶点与平面直角坐标系

中的原点

重合，始边与

轴的正半轴重合，终边经过点

．求

的值．

16.（14分）在直角梯形PBCD中，

，A为PD的中点，如下左图。

将

沿AB折到

的位置，使

，点E在SD上，且

分别是线段

的中点，如右图．

（1）求证：

平面ABCD；

（2）求证：

平面

∥平面

17.（14分）如图，在一条笔直的高速公路

的同旁有两个城镇

，它们与

的距离分别是

与

在

上的射影

之间距离为

，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为

万元/

而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为

万元．设计部门提交了以下三种修路方案：

方案①：

两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口；

方案②：

两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点

，并

点修一个公共立交出入口；

方案③：

从

修一条普通公路到

，再从

高速公路，也只修一个立交出入口．

请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案．

18.（16分）已知椭圆

和圆

：

，过椭圆上一点

引圆

的两条切线，切点分别为

．

（1）（ⅰ）若圆

过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率

的值；

（ⅱ）若椭圆上存在点

，使得

，求椭圆离心率

的取值范围；

（2）设直线

轴、

轴分别交于点

，问当点P在椭圆上运动时，

是否为定值？

请证明你的结论．

19.（16分）对于数列

，定义数列

为

的“差数列”.

（I）若

的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出

的一个通项公式；

（II）若

的“差数列”的通项为

，求数列

的前n项和

（III）对于（II）中的数列

，若数列

满足

且

，求：

①数列

的通项公式；

②当数列

前n项的积最大时n的值．

20.（16分）已知函数

的图像在[a,b]上连续不断，定义：

，其中

表示函数

在D上的最小值，

在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得

对任意的

成立，则称函数

上的“k阶收缩函数”

（1）若

，试写出

的表达式；

（2）已知函数

试判断

是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”，

如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；

（3）已知

，函数

是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围

附加题

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

21.（选修4—2：

矩阵与变换）

已知矩阵A＝

，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝

，属于特征值1的一个特征向量为α2＝

．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

22．（选修4—4：

坐标系与参数方程）

已知曲线

的极坐标方程为

，以极点为原点，极轴为

轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为

（为参数），求直线被曲线

截得的线段长度.

23．某中学选派

名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．

（Ⅰ）从“青志队”中任意选

名学生，求这

名同学中至少有

名同学参加活动次数恰好相等的概率；

（Ⅱ）从“青志队”中任选两名学生，用

表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量

的分布列及数学期望

活动次数

参加人数

24．用

四个不同字母组成一个含

个字母的字符串，要求由

开始，相邻两个字母不同.例如

时，排出的字符串是

时排出的字符串是

，……，如图所示.记这含

个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是

的字符串的种数为

.

（1）试用数学归纳法证明：

（2）现从

四个字母组成的含

个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是

的概率为

，求证：

参考答案

1.

2．-13.34．35．

6．①③7．

8．.④9．

10．

11．

12.

13．

14.56和9

15.解（１）由题可得

而

．．．．．．３分

所以，

．．．．．．．．．．．．．．．．．６分

（２）角

终边经过点

．．．．．．．．．．１０分

　　所以，

．．．．．．．．１４分

16.（14分）

（1）证明：

由题意可知，

为正方形，

所以在图中，

四边形ABCD是边长为2的正方形，

因为

，AB

BC，

所以BC

平面SAB，………………………………3分

又

平面SAB，所以BC

SA，又SA

AB，

所以SA

平面ABCD，………………………………6分

（2）证明：

连接BD，设

，连接

正方形

中，因为

的中点，所以

且

，……………………9分

又

，所以：

，所以

所以平面

。

……………………………12分

17.（14分）解：

共修

普通公路和两个立交出入口，

所需资金为

万元；

取

关于

的对称点

，连

交于

修一个出入口，则路程最短，共需资金：

连接

沿

修路，在

修一个出入口，共需资金：

万元

由于

，比较大小有

，（12分）故选择方案（3）．

18.（16分）解：

（1）（ⅰ）∵圆

过椭圆的焦点，圆

，∴

∴

（ⅱ）由

及圆的性质，可得

（2）设0

整理得

方程为：

从而直线AB的方程为：

．令

，得

，令

为定值，定值是

19.（16分）

（1）解：

如

（答案不惟一，结果应为

的形式，其中

）

（2）解：

依题意

所以

从面

是公比数为2的等比数列，所以

（3）①解：

由

，两式相除得

所以数列

分别是公比为

的等比数列由

令

的通项为

②记数列

前n项的积为Tn.

即

所以当n是奇数时，

从而

当n是偶数时，

注意到

所以当数列

前n项的积Tn最大时

20.解：

（1）由题意可得：

（2）

当

时，

综上所述，

即存在

是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。

（3）

得

或

函数

的变化情况如下：

x

2

-

+

4

（i）当

上单调递增，因此，

因为

是

上的“二阶收缩函数”，所以，

对

恒成立；

②存在

成立。

①即：

恒成立，由

解得

要使

恒成立，需且只需

②即：

存在

所以，只需

综合①②可得

（ii）当

上单调递增，在

上单调递减，因此，

，显然当

不成立。

（iii）当

综合（i）（ii）（iii）可得：

21．解：

由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝

可得，

＝6

即c＋d＝6；

………………………………………3分

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝

，可得

＝

即3c－2d＝－2，…………………………………………6分

即A＝

，…………………………8分

A逆矩阵是

22．解：

将曲线

的极坐标方程化为直角坐标方程为

，它表示以

为圆心，2为半径的圆，…………………………4分

直线方程的普通方程为

，………………………………6分

圆C的圆心到直线l的距离

，…………………………………………………8分

故直线被曲线

截得的线段长度为

．…………………10分

23、（Ⅰ）这

名同学参加活动次数恰好相等的概率为

…………………………………………4分

…………………………………………5分

（Ⅱ）由题意知

……………………………………6分

……………………………………7分

……………………………………8分

的分布列：

1

…………………………………………10分

的数学期望:

…………12分

24．解

（1）：

证明：

（ⅰ）当

时，因为

，所以等式正确.

（ⅱ）假设

时，等式正确，即

那么，

这说明

时等式仍正确.

据（ⅰ），（ⅱ）可知，

正确.

（2）易知

①当

为奇数（

）时，

，因为

，又

②当

为偶数（

.综上所述，