线性代数经管类综合习题集精心整理Word下载.docx

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B.若两向量组等价，则r（）=r（）

C.若s=t，则两向量组等价.

D.若r（）=r（），则两向量组等价.

6.向量组线性相关的充分必要条件是（C）．

A.中至少有一个零向量

B.中至少有两个向量对应分量成比例

C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示

D.可由线性表示

7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是（C）．

A.r与s未必相等B.r+s=m

C.r=sD.r+s>

m

8.对方程组Ax=b与其导出组Ax=o，下列命题正确的是（D）．

A.Ax=o有解时，Ax=b必有解.

B.Ax=o有无穷多解时，Ax=b有无穷多解.

C.Ax=b无解时，Ax=o也无解.

D.Ax=b有惟一解时，Ax=o只有零解.

9.设方程组有非零解，则k=（D）．

A.2B.3C.-1D.1

10.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（D）．

A.|A|>

0B.存在n阶方阵C使A=CTC

C.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.四阶行列式D中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D=-15．

12.若方阵A满足A2=A，且A≠E，则|A|=0.

13.若A为3阶方阵，且，则|2A|=4．

14.设矩阵的秩为2，则t=t=3．

15.设向量＝（6，8，0），=（4，–3，5），则（,）=0．

16.设n元齐次线性方程组Ax=o，r（A）=r<

n，则基础解系含有解向量的个数为n-r个.

17.设＝（1，1，0），＝（0，1，1），=（0，0，1）是R3的基，则=（1，2，3）在此基下的坐标为（1,1,2）.

18.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A2的特征值为1,1,4.

19.二次型的矩阵

A=.

20.若矩阵A与B=相似，则A的特征值为1,2,3.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.求行列式的值.

22.解矩阵方程：

.

23.求向量组=（1,1,2,3），=（－1,－1,1,1），=（1,3,3,5），=（4,－2,5,6）的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.

24.a取何值时，方程组有解？

并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.

25.已知,求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵P，使P–1AP=Λ（对角形矩阵）．

26.用配方法将下列二次型化为标准形：

四、证明题（本大题共6分）

27.设向量，证明向量组是R3空间中的一个基.

线性代数（经管类）综合试题二

1.若三阶行列式=0,则k=（C）.

A．1B．0C．-1D．-2

2.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是（D）.

A．A可逆B．B可逆C．|A|=|B|D．AB=BA

3.设A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则（A）.

A．B．

C．D．

4.矩阵的秩为2，则λ=（B）.

A．2B．1C．0D．

5.设3×

4矩阵A的秩r（A）=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为（D）.

A．B．

6.向量线性相关,则（C）.

A．k=-4B．k=4C．k=-3D．k=3

7.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,若是其导出组Ax=o的解,则有（B）.

A．c1+c2=1B．c1=c2C．c1+c2=0D．c1=2c2

8.设A为n（n≥2）阶方阵，且A2=E，则必有（B）.

A．A的行列式等于1B．A的秩等于n

C．A的逆矩阵等于ED．A的特征值均为1

9.设三阶矩阵A的特征值为2,1,1，则A-1的特征值为（D）.

A．1,2B．2,1,1C．,1D．,1,1

10.二次型是（A）.

A．正定的B．半正定的C．负定的D．不定的

11.=____5______．

12.设A为三阶方阵,且|A|=4，则|2A|=______32____．

13.设A=,B=,则ATB=_____．

14.设A=,则A-1=__________．

15.向量表示为向量组

的线性组合式为_______．

16.如果方程组有非零解,则k=___-1_____．

17.设向量与正交，则a=_2__．

18.已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应的二次型__________．

19.已知矩阵A与对角矩阵Λ=相似，则A2=___E_____．

20.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3，则其规范形为_________．

21.计算行列式的值.

22.设矩阵A=，B=，求矩阵A-1B.

23.设矩阵，求k的值，使A的秩r（A）分别等于1，2，3.

解：

24.求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.

25.求线性方程组的基础解系，并用基础解系表示其通解.

26.已知矩阵，求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使P-1AP=Λ.

27.设向量组线性无关，证明：

向量组

也线性无关.

线性代数（经管类）综合试题三

1.当（D）成立时，阶行列式的值为零.

A.行列式主对角线上的元素全为零

B.行列式中有个元素等于零

C.行列式至少有一个阶子式为零

D.行列式所有阶子式全为零

2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是（B）.

A.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E

3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）.

A.（AB）-1=A-1B-1B.（A+B）-1=A-1+B-1

C.（AB）T=ATBTD.

4.下列矩阵不是初等矩阵的是（B）.

A.B.C.D.

5.设是4维向量组，则（D）.

A.线性无关

B.至少有两个向量成比例

C.只有一个向量能由其余向量线性表示

D.至少有两个向量可由其余向量线性表示

6.设A为m×

n矩阵，且m<

n，则齐次线性方程组Ax=o必（C）.

A.无解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能确定

7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3，又

是Ax=b的两个解,则Ax=b的通解是（D）.

A.B.

C.D.

8.如果矩阵A与B满足（D），则矩阵A与B相似.

A.有相同的行列式

B.有相同的特征多项式

C.有相同的秩

D.有相同的特征值,且这些特征值各不相同

9.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是（D）.

0B.A的每一个元素都大于零

C.D.A的正惯性指数为n

10.设A，B为同阶方阵，且r（A）=r（B），则（C）.

A.A与B相似B.A与B合同

C.A与B等价D.|A|=|B|

11.行列式24.

12.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为，其中是A的第j列，,则|B|=6.

13.已知矩阵方程AX=B，其中A=，B=，则X=.

14.已知向量组的秩为2，则k=-2.

15.向量的长度=根号15.

16.向量在基下的坐标为（3,-4,3）.

17.设是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r（A）=1.

18.设是三阶矩阵A的特征值，则a=1.

19.若是正定二次型，则满足>

5.

20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=A2+2A,则|B|=360.

21.设三阶矩阵A=，E为三阶单位矩阵.

求：

（1）矩阵A-2E及|A-2E|；

（2）.

22.已知向量组

（1）向量组的秩；

（2）向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.

（1）

23.讨论a为何值时，线性方程组有解？

当方程组有解时，求出方程组的通解.

24.已知向量组，讨论该向量组的线性相关性.

25.已知矩阵A=，

（1）求矩阵A的特征值与特征向量；

（2）判断A可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P及相应的对角形矩阵Λ.

26.设二次型

（1）将二次型化为标准形；

（2）求二次型的秩和正惯性指数.

27.已知A是n阶方阵，且，证明矩阵A可逆，并求

线性代数（经管类）综合试题四

1.三阶行列式，则a=（B）.

A.2B.3C.