1998年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案文Word文档格式.docx

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（A）A1A2＋B1B2=0

（B）A1A2－B1B2=0

（D）

（5）函数f（x）=（x≠0）的反函数f－1（x）=（）

（A）x（x≠0）

（B）（x≠0）

（C）－x（x≠0）

（D）－（x≠0）

（6）已知点P（sinα－cosα，tgα）在第一象限，则[0，2π]内α的取值范围是（）

（A）（）∪（）

（B）（）∪（）

（C）（）∪（）

（D）（）∪（）

（7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为（）

（A）120º

（B）150º

（C）180º

（D）240º

（8）复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）

（A）i

（B）－i

（C）±

i

（D）±

（9）如果棱台的两底面积是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）

（A）2

（B）S0=

（C）2S0=S＋S′

（10）2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共（）

（A）6种

（B）12种

（C）18种

（D）24种

（11）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是（）

（12）椭圆=1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）

（A）±

（B）±

（13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）

（A）4

（B）2

（C）2

（14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为（）

（B）

（15）等比数列{an}的公比为－，前n项的和Sn满足Sn=，那么的值为（）

（B）±

二．填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．

（16）设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心距离是__________

（17）（x＋2）10（x2－1）的展开的x10系数为____________（用数字作答）

（18）如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____________时，有A1C⊥B1D1．（注：

填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形）

（19）关于函数f（x）=4sin（2x＋）（x∈R），有下列命题

①y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x－）；

②y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；

③y=f（x）的图像关于点对称；

④y=f（x）的图像关于直线x=－对称．

其中正确的命题的序号是______（注：

把你认为正确的命题的序号都填上．）

三．解答题：

本大题共6小题；

共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（20）（本小题满分10分）

设a≠b，解关于x的不等式a2x＋b2（1－x）≥[ax＋b（1－x）]2．

（21）（本小题满分11分）

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a＋c=2b，A－C=，求sinB的值．以下公式供解题时参考：

，

．

（22）（本小题满分12分）

如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线C的方程．

（23）（本小题满分12分）

已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90º

，BC=2，AC=2，且AA1⊥A1C，AA1=A1C1．

（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离．

（24）（本小题满分12分）

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）．

（25）（本小题满分12分）

已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1＋b2＋…＋b10=100．

（Ⅰ）求数列{bn}的能项bn；

（Ⅱ）设数列{an}的通项an=lg（1＋），记Sn是数列{an}的前n项的和．试比较Sn与lgbn+1的大小，并证明你的结论．

数学试题（文史类）参考解答及评分标准

本题考查基本知识和基本运算．第

（1）－（10）题每小题4分，第（11）－（15）题每小题5分．满分65分．

（1）D

（2）B（3）C（4）A（5）B（6）B（7）C（8）D（9）A（10）B（11）B（12）A（13）B（14）C（15）D

本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

（16）（17）－5120

（18）AC⊥BD，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD是正方形，菱形等

（19）①，③注：

第（19）题多填、漏填的错填均给0分．

（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．

解：

将原不等式化为

（a2－b2）x+b2≥（a－b）2x2＋2（a－b）bx＋b2，

移项，整理后得（a－b）2（x2－x）≤0，

∵a≠b即（a－b）2＞0，

∴x2－x≤0，

即x（x－1）≤0．

解此不等式，得解集{x|0≤x≤1}．

（21）本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．

由正弦定理和已知条件a＋c=2b得

sinA＋sinC=2sinB．

由和差化积公式得．

由A＋B＋C=π，得=，

又A－C=，得cos=sinB，

∴cos=2sincos．

∵0＜＜，≠0，

∴sin=，

从而cos==

∴sinB==

（22）本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．

解法一：

如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．

依题意知：

曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛线段的一段，其中A、B分别为C的端点．

设曲线段C的方程为

y2=2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0），其中xA，xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|．

所以M（－，0），N（，0）．

由|AM|=，|AN|=3得

（xA＋）2＋2PxA=17，①

（xA－）2＋2PxA=9．②

由①、②两式联立解得xA=，再将其代入①式并由p＞0解得

或．

因为△AMN是锐角三角形，所以＞xA，故舍去．

∴P=4，xA=1．

由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－=4．

综上得曲线段C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y＞0）．

解法二：

如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．

作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．

设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）．

依题意有

xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，

yA=|DM|==2，由于△AMN为锐角三角形，故有

xN=|AE|+|EN|=4．

=|ME|+=4

XB=|BF|=|BN|=6．

设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合

{（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0}．

故曲线段C的方程

y2=8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．

（23）本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．

注：

题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．

（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，

∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角．

∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，

∴∠A1AD=45º

为所求．

（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．

∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中点，BC=2，AC=2，

∴DE=1，AD=A1D=，tgA1ED==．

故∠A1ED=60º

（Ⅲ）作BF⊥AC，F为垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1．

∵B1B∥面A1ACC1，

∴BF的长是B1B和面A1ACC1的距离．

在Rt△ABC中，，

∴为所求．

（24）本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．

设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k＞0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小．

根据题设，有4b＋2ab＋2a=60（a＞0，b＞0），

得（0＜a＜30＝，①

于是

当a＋2=时取等号，y达最小值．

这时a=6，a=－10（舍去）．

将a=6代入①式得b=3．

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

依题意，即所求的a，b的值使ab最大．

由题设知4a＋2ab＋2a=60（a＞0，b＞0）

即a＋2b＋ab=30（a＞0，b＞0）．

∵a＋2b≥2，

∴2＋ab≤30，

当且仅当a=2b时，上式取等号．

由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．

即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值18．

∴2b2=18．解得b=3，a=6．

（25）本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用