全国初中数学竞赛历年竞赛试题及参考答案文档格式.docx

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4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；

拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；

又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）

（A）2004（B）2005（C）2006（D）2007

5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a<

b，则a＋b＋c的最大值为．

7．如图，面积为的正方形DEFG内接于

面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，

且b不能被任何质数的平方整除，则的值

等于．

8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．

9．已知0<

a<

1，且满足，则的值等于

．（表示不超过x的最大整数）

10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；

第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．已知，，为互质的正整数（即，是正整数，且它们的最大公约数为1），且≤8，．

（1）试写出一个满足条件的x；

（2）求所有满足条件的x．

12．设，，为互不相等的实数，且满足关系式

①

②

求a的取值范围．

13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；

连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：

PE·

AC=CE·

KB．

14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案

答：

C．

解：

因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．

故选C．

由已知可得，．又

=8，所以解得a=－9

B．

设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|<

|a|），则点B的坐标为

（－a，a2），由勾股定理，得，

，

所以．

由于，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h=a2－c2=1

故选B．

根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°

．于是，剪过k次后，可得（k＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k＋1）×

360°

．

因为这（k＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×

（62－2）×

180°

=34×

60×

，其余多边形有（k＋1）－34=k－33（个），而这些多边形的内角和不少于（k－33）×

．所以（k＋1）×

≥34×

＋（k－33）×

，解得k≥2005．

当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；

再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×

58个三角形．于是共剪了

58＋33＋33×

58=2005（刀）．

D．

如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m，

QA=r－m．

在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·

QC=QP·

QD．

即（r－m）（r＋m）=m·

QD，所以QD=．

连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，

即，解得

所以，

故选D．

5013．

由，，得．

因为，a<

b，a为整数，所以，a的最大值为1002．

于是，a＋b＋c的最大值为5013．

设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则，

由△ADG∽△ABC，可得，解得

于是，

由题意，，，，所以．

104．

设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了46×

=368x米．于是368（x－1）＋800－400（x－1）>

400，

所以，12.5≤x<

13.5．故x=13，此时．

1，且满足，则的值等于．（表示不超过x的最大整数）

6．

因为0<

，所以，，…，等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以

=0，=1，

所以，1≤＜2．

故18≤30a＜19，于是6≤10a＜，所以=6．

282500．

设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为

．根据题意，有81×

=．

记，于是

，

解得x=1250×

（208－71a）．

因为0≤x＜，所以0≤1250×

（208－71a）＜，故≤．

因为a为整数，所以a=2．于是x=1250×

（208－71×

2）=82500．

所以，小明家原来的电话号码为282500．

（1）试写出一个满足条件的x；

（2）求所有满足条件的x．

（1）满足条件．……………5分

（2）因为，，为互质的正整数，且≤8，所以

，即．

当a=1时，，这样的正整数不存在．

当a=2时，，故=1，此时．

当a=3时，，故=2，此时．

当a=4时，，与互质的正整数不存在．

当a=5时，，故=3，此时．

当a=6时，，与互质的正整数不存在．

当a=7时，，故=3，4，5此时，，．

当a=8时，，故=5，此时

所以，满足条件的所有分数为，，，，，，．………………15分

求a的取值范围．

解法一：

由①－2×

②得，所以a>

－1．

当a>

－1时，=．………………10分

又当时，由①，②得，③

④

将④两边平方，结合③得

化简得，故，

解得，或．

所以，a的取值范围为a>

－1且，．………………………15分

解法二：

因为，，所以

，

所以．又，所以，为一元二次方程

⑤

的两个不相等实数根，故，所以a>

另外，当时，由⑤式有，

即或，解得，或．

当时，同理可得或．

证明：

因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，

所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是

△KPE∽△KAP，

所以，即．

由切割线定理得

所以．…………………………10分

因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是

故，

即PE·

KB．………………………………15分

设10个学生为，，…，，n个课外小组，，…，．

首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设