版高中数学第二章平面向量21平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4112Word文档格式.docx
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梳理
(1)向量的几何表示:
向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素:
起点、方向、长度,如图所示.
以A为起点、B为终点的有向线段记作.
(2)向量的字母表示:
向量可以用字母a,b,c,…表示(印刷用黑体a,b,c,书写时用,,).
(3)向量的大小,也就是向量的长度(或称模),即有向线段的长度,记作||.长度为0的向量叫做零向量,记作0;
长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.
知识点三 相等向量与共线向量
思考1 已知A,B为平面上不同两点,那么向量和向量相等吗?
它们共线吗?
答案 因为向量和向量方向不同,所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上,所以两向量共线.
思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗?
答案 不相同,由相等向量定义可知,向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行,也可以重合.
思考3 若a∥b,b∥c,那么一定有a∥c吗?
答案 不一定.因为当b=0时,a,c可以是任意向量.
梳理
(1)相等向量:
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
(2)平行向量:
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
①记法:
向量a平行于b,记作a∥b.
②规定:
零向量与任一向量平行.
(3)共线向量:
由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量.也就是说,平行向量与共线向量是等价的,因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
类型一 向量的概念
例1 下列说法正确的是( )
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
C.零向量没有方向
D.任意两个单位向量都相等
答案 A
解析 两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同;
零向量的方向不确定,并不是没有方向;
任意两个单位向量只有长度相等,方向不一定相同,故B,C,D都错误,A正确.故选A.
反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义,对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
跟踪训练1 下列说法正确的有.
(1)若|a|=|b|,则a=b或a=-b;
(2)向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在同一条直线上;
(3)向量与是平行向量.
答案 (3)
解析
(1)错误.|a|=|b|仅说明a与b的模相等,不能说明它们方向的关系.
(2)错误.共线向量即平行向量,只要方向相同或相反,并不要求两个向量、必须在同一直线上,因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上.
(3)正确.向量和是长度相等,方向相反的两个向量.
类型二 共线向量与相等向量
例2 如图所示,△ABC的三边均不相等,E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.
(1)写出与共线的向量;
(2)写出与的模大小相等的向量;
(3)写出与相等的向量.
解
(1)因为E、F分别是AC、AB的中点,
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点,
所以与共线的向量有,,,,,,.
(2)与模相等的向量有,,,,.
(3)与相等的向量有与.
反思与感悟
(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.
(2)共线的向量不一定相等,但相等的向量一定共线.
跟踪训练2 如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与的模相等的向量有多少个?
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量?
若存在,有几个?
(3)与共线的向量有哪些?
解
(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB),而每一条线段可以有两个向量,所以这样的向量共有23个.
(2)存在.由正六边形的性质可知,BC∥AO∥EF,所以与的长度相等、方向相反的向量有,,,,共4个.
(3)由
(2)知,BC∥OA∥EF,线段OD,AD与OA在同一条直线上,所以与共线的向量有,,,,,,,,,共9个.
类型三 向量的表示及应用
例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点,然后又改变方向,向西偏北50°
的方向走了200km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100km到达D点.
(1)作出向量、、;
(2)求||.
解
(1)向量、、如图所示.
(2)由题意,易知与方向相反,故与共线,
∵||=||,
∴在四边形ABCD中,AB綊CD,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴=,∴||=||=200km.
反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练3 在如图的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b,使b=a;
(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|=,并说出向量c的终点的轨迹是什么?
解
(1)根据相等向量的定义,所作向量与向量a平行,且长度相等(作图略).
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心,半径为的圆(作图略).
1.下列结论正确的个数是( )
①温度含零上和零下温度,所以温度是向量;
②向量的模是一个正实数;
③向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;
④若|a|>
|b|,则a>
b.
A.0B.1C.2D.3
答案 B
解析 ①温度没有方向,所以不是向量,故①错;
②向量的模也可以为0,故②错;
④向量不可以比较大小,故④错;
③若a,b中有一个为零向量,则a与b必共线,故a与b不共线,则应均为非零向量,故③对.
2.下列说法错误的是( )
A.若a=0,则|a|=0
B.零向量是没有方向的
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
解析 零向量的长度为0,方向是任意的,它与任何向量都平行,所以B是错误的.
3.如图所示,梯形ABCD为等腰梯形,则两腰上的向量与的关系是( )
A.=B.||=||
C.>
D.<
解析 ||与||表示等腰梯形两腰的长度,故相等.
4.如图所示,以1×
2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.
(1)写出与、相等的向量;
(2)写出与模相等的向量.
解
(1)==,=.
(2),,.
1.向量是既有大小又有方向的量,从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征,因此借助于向量,我们可以将某些代数问题转化为几何问题,又将几何问题转化为代数问题,故向量能起到数形结合的桥梁作用.
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然,同一直线上的向量也是平行向量.
3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量,零向量与任何向量都平行,单位向量有无穷多个,起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.
课时作业
一、选择题
1.下列物理量:
①质量;
②速度;
③位移;
④力;
⑤加速度;
⑥路程.其中是向量的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
答案 C
解析 ②③④⑤是向量.
2.下列说法中正确的个数是( )
①任一向量与它的相反向量不相等;
②一个向量方向不确定当且仅当模为0;
③共线的向量,若起点不同,则终点一定不同;
④单位向量的模都相等.
3.下列说法正确的是( )
A.若a∥b,则a与b的方向相同或相反
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
D.若a=b,b=c,则a=c
答案 D
4.如图,在四边形ABCD中,若=,则图中相等的向量是( )
A.与B.与
C.与D.与
解析 ∵=,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AC、BD互相平分,∴=.
5.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°
,则以下说法错误的是( )
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为的模的倍
D.与不共线
解析 由于=,因此与相等的向量只有,而与的模相等的向量有,,,,,,,,,因此选项B正确.而Rt△AOD中,∵∠ADO=30°
,∴||=||,故||=||,因此选项C正确.由于=,因此与是共线的,故选D.
6.如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中不一定成立的是( )
A.||=||
B.与共线
C.与共线
D.=
7.以下命题:
①|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关;
②两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
④单位向量都是共线向量.其中,正确命题的个数是( )
解析 ②④错误.
二、填空题
8.在四边形ABCD中,若=且||=||,则四边形的形状为.
答案 菱形
解析 ∵=,∴AB綊DC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵||=||,∴四边形ABCD是菱形.
9.给出以下5个条件:
①a=b;
②|a|=|b|;
③a与b的方向相反;
④|a|=0或|b|=0;
⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是.(填序号)
答案 ①③④
解析 相等向量一定是共线向量,故①能使a∥b;
方向相同或相反的向量一定是共线向量,故③能使a∥b;
零向量与任一向量平行,故④成立.
10.如图,若四边形ABCD为正方形,△BCE为等腰直角三角形,则:
(1)图中与共线的向量有;
(2)图中与相等的向量有;
(3)图中与的模相等的向量有;
(4)图中与相等的向量有.
答案
(1),,,,,,
(2),
(3),,,,,,,,
(4)
三、解答题
11.一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30°
方向行驶2千米到D地,然后从D地沿北偏东60°
方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30°
方向行驶2千米才到达B地.
(1)画出,,,;
(2)求B地相对于A地的位置向量.
解
(1)向量,,,如图所示.
(2)由题意知=,
∴AD綊BC,则四边形ABCD为平行四边形,
∴=,则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°
,长度为6千米”.
12.如图,已知==.求证:
(1)△ABC≌△A′B′C′;
(2)=,=.
证明
(1)∵=,
∴||=||,且∥.
又∵点A不在上,∴AA′∥BB′,
∴