二次函数中平行四边形存在性问题处理最好方法Word文件下载.docx
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如图2,连接AC、BD,相交于点E.
∵点E为AC的中点,
∴E点坐标为(,).
又∵点E为BD的中点,
∴xA+xC=xB+xD;
yA+yC=yB+yD.
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等.
2一个基本事实,解题的预备知识
如图3,已知不在同一直线上的三点A、B、C,在平面内另找一个点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种:
以AB为对角线的□ACBD1,以AC为对角线的□ABCD2,以BC为对角线的□ABD3C.
3两类存在性问题解题策略例析与反思
3.1三个定点、一个动点,探究平行四边形的存在性问题
例1已知抛物线y=x2-2x+a(a<0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线y=x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点,并且与直线AM相交于点N.
(1)填空:
试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标,则M(),N();
(2)如图4,将△NAC沿y轴翻折,若点N的对应点N′恰好落在抛物线上,AN′与x轴交于点D,连接CD,求a的值和四边形ADCN的面积;
(3)在抛物线y=x2-2x+a(a<0)上是否存在一点P,使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,试说明理由.
解:
(1)M(1,a-1),N(,-);
(2)a=-;
S四边形ADCN=;
(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(,-).设P(m,m2-2m+a).
①当以AC为对角线时,由平行四边形顶点坐标公式(解题时熟练推导出),得:
∴.
∴P1(,-);
②当以AN为对角线时,得:
∴(不合题意,舍去).
③当以CN为对角线时,得:
∴P2(-,).
∴在抛物线上存在点P1(,-)和P2(-,),使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.
反思:
已知三个定点的坐标,可设出抛物线上第四个顶点的坐标,运用平行四边形顶点坐标公式列方程(组)求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚,往往要以这三条线段分别为对角线分类,分三种情况讨论.
3.2两个定点、两个动点,探究平行四边形存在性问题
例2如图5,在平面直角坐标系中,抛物线A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、A、B为
顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件点P的坐标.
解:
(1)易求抛物线的表达式为y=;
(2)由题意知点Q在y轴上,设点Q坐标为(0,t);
点P在抛物线上,
设点P坐标为(m,).
尽管点Q在y轴上,也是个动点,但可理解成一个定点,这样就转化为三定一动了.
①当以AQ为对角线时,由四个顶点的横坐标公式得:
-1+0=3+m,
∴m=-4,∴P1(-4,7);
②当以BQ为对角线时,得:
-1+m=3+0,∴m=4,∴P2(4,);
③当以AB为对角线时,得:
-1+3=m+0,∴m=2,∴P3(2,-1).
综上,满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).
这种题型往往特殊,一个动点在抛物线上,另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标,另一个动点若在x轴上,纵坐标为0,则用平行四边形顶点纵坐标公式;
若在y轴上,横坐标为0,则用平行四边形顶点横坐标公式.该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式.本例中点Q的纵坐标t没有用上,可以不设.另外,把在定直线上的动点看成一个定点,这样就转化为三定一动了,分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类,分三种情况讨论.
例3如图6,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
(1)易求抛物线的解析式为y=x2+x-4;
(2)s=-m2-4m(-4<
m<
0);
s最大=4(过程略);
(3)尽管是直接写出点Q的坐标,这里也写出过程.由题意知O(0,0)、B(0,-4).
由于点Q是直线y=-x上的动点,设Q(s,-s),把Q看做定点;
设P(m,m2+m-4).
①当以OQ为对角线时,
∴s=-2.
∴Q1(-2+,2-),Q2(-2-,2+);
②当以BQ为对角线时,
∴s1=-4,s2=0(舍).
∴Q3(-4,4);
③当以OB为对角线时,
∴s1=4,s2=0(舍).
∴Q4(4,-4).综上,满足条件的点Q为Q1(-2+,2-)、Q2(-2-,2+)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4).
该题中的点Q是直线y=-x上的动点,设动点Q的坐标为(s,-s),把Q看做定点,就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.
4问题总结
这种题型,关键是合理有序分类:
无论是三定一动,还是两定两动,统统把抛物线上的动点作为第四个动点,其余三个作为定点,分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类,分三种情况讨论,然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组).这种解法,不必画出平行四边形草图,只要合理分类,有序组合,从对角线入手不会漏解,条理清楚,而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题,体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.
专题:
二次函数中的平行四边形存在性问题
类型一:
已知三个定点,再找一个定点构成平行四边形(平面内有三个点满足)
1.已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0),与y轴的正半轴交于点C.
⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点B的坐标;
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时,求抛物线的解析式;
⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请求出点的坐标;
若不存在,请说明理由.
2、练习:
已知抛物线()与轴相交于点,顶点为.直线分别与轴,轴相交于两点,并且与直线相交于点.
试用含的代数式分别表示点与的坐标,则;
(2)如图,将沿轴翻折,若点的对应点′恰好落在抛物线上,′与轴交于点,连结,求的值和四边形的面积;
(3)在抛物线()上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,试说明理由
类型:
已知两个定点,再找两个点构成平行四边形
①确定两定点连接的线段为一边,则两动点连接的线段应和已知边平行且相等
1.已知,如图抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧。
点B的坐标为(1,0),OC=30B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值:
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上。
是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?
若存在,求点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
2、练习如图,抛物线:
与x轴交于A、B(A在B左侧),顶点为C(1,﹣2)。
(1)求此抛物线的关系式;
并直接写出点A、B的坐标;
(2)求过A、B、C三点的圆的半径;
(3)在抛物线上找点P,在y轴上找点E,使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形,求点P、E的坐标。
②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时,则这条线段可能为平行四边形的边或对角线
1.如图,抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;
如果不存在,请说明理由.
2、练习:
如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点为D(-1,-4),与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)。
(2)连接AC,CD,AD,试证明△ACD为直角三角形;
(3)若点E在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F,使以A,B,E,F为顶点的的四边形为平行四边形?
若存在,求出所有满足条件的点F的坐标;
若不存在,请说明理由。
检测:
1、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2,-1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上的一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD∥y轴,交AC于点D。
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标;
(3)在问题
(2)的结论下,若点E在x轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?
若存在,求点F的坐标;
2、如图,已知抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C。
(2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标;
(3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似?