二次函数中平行四边形存在性问题处理最好方法Word文件下载.docx
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如图2，连接AC、BD，相交于点E．
∵点E为AC的中点，
∴E点坐标为（,）.
又∵点E为BD的中点，
∴xA+xC=xB+xD；
yA+yC=yB+yD.
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．
2一个基本事实，解题的预备知识
如图3，已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：
以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C．
3两类存在性问题解题策略例析与反思
3.1三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题
例1已知抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y=x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.
（1）填空：
试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（）,N（）；
（2）如图4，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
（3）在抛物线y=x2-2x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出点P的坐标；
若不存在，试说明理由.
解：
（1）M（1,a-1），N（,-）；
（2）a=-；
S四边形ADCN=；
（3）由已知条件易得A（0,a）、C（0,-a）、N（,-）.设P（m,m2-2m+a）.
①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得：
∴.
∴P1（,-）；
②当以AN为对角线时，得:
∴（不合题意，舍去）.
③当以CN为对角线时，得:
∴P2（-,）.
∴在抛物线上存在点P1（,-）和P2（-,），使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.
反思：
已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.
3.2两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题
例2如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0）,B（3,0）,C（0,-1）三点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为
顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.
解：
（1）易求抛物线的表达式为y=；
（2）由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为（0,t）；
点P在抛物线上，
设点P坐标为（m,）.
尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．
①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：
-1+0=3+m，
∴m=-4，∴P1（-4,7）；
②当以BQ为对角线时，得：
-1+m=3+0，∴m=4，∴P2（4,）；
③当以AB为对角线时，得：
-1+3=m+0，∴m=2，∴P3（2,-1）.
综上，满足条件的点P为P1（-4,7）、P2（4,）、P3（2,-1）.
这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；
若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设．另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.
例3如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4,0）,B（0,-4）,C（2,0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
（1）易求抛物线的解析式为y=x2+x-4；
（2）s=-m2-4m（-4<
m<
0）；
s最大=4（过程略）；
（3）尽管是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程．由题意知O（0,0）、B（0,-4）.
由于点Q是直线y=-x上的动点，设Q（s,-s），把Q看做定点；
设P（m,m2+m-4）.
①当以OQ为对角线时，
∴s=-2.
∴Q1（-2+,2-），Q2（-2-,2+）；
②当以BQ为对角线时，
∴s1=-4，s2=0（舍）.
∴Q3（-4,4）；
③当以OB为对角线时，
∴s1=4，s2=0（舍）.
∴Q4（4,-4）.综上，满足条件的点Q为Q1（-2+,2-）、Q2（-2-,2+）、Q3（-4,4）、Q4（4,-4）.
该题中的点Q是直线y=-x上的动点，设动点Q的坐标为（s,-s），把Q看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.
4问题总结
这种题型，关键是合理有序分类：
无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）．这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广．其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.
专题：
二次函数中的平行四边形存在性问题
类型一：
已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）
1.已知抛物线与轴的一个交点为A（-1,0），与y轴的正半轴交于点C．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？
若存在,请求出点的坐标；
若不存在,请说明理由．
2、练习:
已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.
试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；
（2）如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；
（3）在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出点的坐标；
若不存在，试说明理由
类型：
已知两个定点，再找两个点构成平行四边形
①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等
1．已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。
点B的坐标为（1，0）,OC=30B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上。
是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?
若存在，求点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
2、练习如图，抛物线：
与x轴交于A、B（A在B左侧），顶点为C（1，﹣2）。
（1）求此抛物线的关系式；
并直接写出点A、B的坐标；
（2）求过A、B、C三点的圆的半径；
（3）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标。
②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线
1．如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；
如果不存在，请说明理由．
2、练习：
如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）。
（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；
（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？
若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；
若不存在，请说明理由。
检测：
1、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D。
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在问题
（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？
若存在，求点F的坐标；
2、如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C。
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？
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