二次函数中平行四边形存在性问题处理最好方法Word文件下载.docx

1、 如图2，连接AC、BD，相交于点E点E为AC的中点，E点坐标为（,）.又点E为BD的中点，xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD. 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等2 一个基本事实，解题的预备知识如图3，已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形答案有三种：以AB为对角线的ACBD1，以AC为对角线的ABCD2，以BC为对角线的ABD3C3 两类存在性问题解题策略例析与反思3.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题例1 已知抛物线y=x2-2x+a（a0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y=x

2、-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（ ）, N（ ）；（2）如图4，将NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y=x2-2x+a（a0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.解：（1）M（1,a-1），N（,-）；（2）a=-；S四边形ADCN=；（3）由已知条件易得A（0,a）、C（0,-a）、N（,-）.设P（m,m2-2m+a）.当以AC为对角

3、线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得：,.P1（,-）；当以AN为对角线时，得:,（不合题意，舍去）.当以CN为对角线时，得:P2（-,）.在抛物线上存在点P1（,-）和P2（-,），使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.反思：已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题例2 如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0）,B（3,0）,C（0,-1）三点

4、.（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.解 ：（1）易求抛物线的表达式为y=；（2）由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为（0,t）；点P在抛物线上，设点P坐标为（m,）.尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m，m=-4，P1（-4,7）；当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，m=4，P2（4,）；当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，m=2，P3（2,-1）.综上，满足条件的点P为P1（-4,7

5、）、P2（4,）、P3（2,-1）.这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一定直线上设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论. 例3 如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4,0）,B（0,-4）,C（2,0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象

6、限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标（1）易求抛物线的解析式为y=x2+x-4；（2）s=-m2-4m（-4m0）；s最大=4（过程略）；（3）尽管是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程由题意知O（0,0）、B（0,-4）.由于点Q是直线y=-x上的动点，设Q（s,-s），把Q看做定点；设P（m,m2+m-4）.当以OQ为对角线时，s=-2.Q1（-2+,2-），Q2（-2-,2+）；当以BQ

7、为对角线时，s1=-4，s2=0（舍）.Q3（-4,4）；当以OB为对角线时，s1=4，s2=0（舍）.Q4（4,-4）.综上，满足条件的点Q为Q1（-2+,2-）、Q2（-2-,2+）、Q3（-4,4）、Q4（4,-4）.该题中的点Q是直线y=-x上的动点，设动点Q的坐标为（s,-s），把Q看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.4 问题总结 这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）这种解法，不必画出平

8、行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.专题：二次函数中的平行四边形存在性问题类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）1.已知抛物线与轴的一个交点为A（-1,0），与y轴的正半轴交于点C直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；当点C在以AB为直径的P上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点,使得以点M和中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由2、练习:已知抛物线（）与轴相

9、交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； （2）如图，将沿轴翻折，若点的对应点恰好落在抛物线上，与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；（3）在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等1已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为（1，0）,OC=30B （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四

10、边形ABCD面积的最大值： （3）若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由2、练习 如图，抛物线：与x轴交于A、B（A在B左侧），顶点为C（1，2）。（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B的坐标；（2）求过A、B、C三点的圆的半径；（3）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标。两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线1如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C

11、点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由2、练习：如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）。（2）连接AC，CD，AD，试证明ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为

12、平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由。检测：1、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PDy轴，交AC于点D。（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；2、如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C。（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形BOC相似？