特征值与特征向量考研复习Word格式文档下载.docx
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设2是可逆矩阵的一个特征值，则有一特征值为（>
。
A、B、C、D、
解：
，选B
练习：
1、（一/98>
设是阶矩阵的一个特征值，则必有特征值。
因为，所以的特征值为，
从而是的一个特征值。
2、（三/08>
设三阶矩阵的特征值分别为，则。
的三个特征值为，所以
3、（四/96>
设有四阶方阵满足：
，，。
求的一个特征值。
由知：
是的一个特征值
由，知：
所以的一个特征值为
例2（一/95>
设是阶矩阵，满足，，求。
法一：
而，所以
法二：
设是的任意一个特征值，是对应的特征向量，则
由得，
，即的特征值是1或，
而，所以的特征值至少有一个是，因此
同类型：
（四/90>
设方阵A满足，试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。
例3（一、二/08>
设为二阶矩阵，是二个线性无关的列向量，，则的非零特征值为。
由于，所以的一个非零特征值为1。
例4（三/02>
设为阶实对称矩阵，是可逆矩阵。
已知是的属于特征值的特征向量，则属于特征值的特征向量是（>
A、B、C、D、
，因此，得选B
例5（四/08>
设三阶矩阵的特征值互不相同，且，则。
至少有一个特征值为0
又的特征值互不相同，所以只有一个特征值为0。
因此
例6（一、二、三/05>
设是矩阵的二个不同特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充要条件是（>
A、B、C、D、
线性无关的充要条件是只有零解
由线性无关得：
只有零解的充要条件是选B
例7（三/90>
设为阶矩阵，是的二个不同特征值，分别是属于的特征向量，试证明不是的特征向量。
证明：
若是的特征向量，则存在一个数，使得：
又
所以
即，又线性无关，所以
与是的二个不同特征值矛盾，所以不是的特征向量。
例8（三/04>
设阶矩阵，（1>
求的特征值和特征向量；
求可逆阵，使得为对角矩阵。
所以
1>
若，则个特征值均为1，此时，所以
是个线性无关的特征向量
2>
若，则当时，
所以是个线性无关的特征向量
当时，
得是它的一个基础解系。
当时，，且
例9（三、四/98>
设都是非零维向量，且满足条件。
记。
求：
；
的特征值和特征向量。
设是的任意一个特征值，是对应的特征向量，则
所以，又，所以，
即的个特征值均为0。
由于都是非零向量，所以不妨设。
当时
所以基础解系为：
从而对应的所有特征向量为：
，其中不全为零。
√例10（四/03>
设可逆，是的一个特征向量，是对应的特征值，求的值。
由是的属于的一个特征向量，且可逆知：
，且
即，从而
代入得：
得：
或。
√练习：
（一、三/99>
设矩阵，且。
又设A的伴随矩阵有特征值，属于的特征向量为，求的值。
由得：
，解得：
又，所以。
√例11（一/92>
设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，对应的特征向量分别为：
，又
将用线性表示；
求（为自然数>
解
则
（也可以用相似矩阵先求，再求做，但是比较麻烦>
√例12（二、三、四/08>
设为三阶矩阵，是的分别属于的特征向量，向量满足，（1>
证明线性无关；
令，求。
设（1>
所以
代入得：
（2>
由于是的分别属于的特征向量，所以线性无关，
因此，再代入（1>
式得：
，因，所以
从而线性无关
所以。
例 设是一个阶正交矩阵，证明：
<
1）如果有特征值，则的特征值只能是1或；
2）如果，则是的一个特征值；
3）如果，且是奇数，则1是的一个特征值。
设是矩阵的一个特征值，是对应的特征向量，则。
从而 （*>
由于是正交矩阵，所以。
从而由（*>
因为，所以。
因此，即。
所以，即是的一个特征值。
由此得。
例 设分别是阶矩阵，如果是矩阵的属于非零特征值的一个特征向量，证明是的属于特征值的一个特征向量。
因为是矩阵的属于特征值的一个特征向量，所以。
两边乘得：
（*>
如果，则
与，矛盾。
所以。
因此由（*>
式知：
是的属于特征值的一个特征向量。
例 设，其中不全为零，求的特征值和特征向量。
因为不全为零，所以不妨设。
设是矩阵的任意一个特征值，是对应的特征向量，则。
注意到，易得：
又因为，所以是对称矩阵。
从而一定可以对角化。
因此的秩等于对应对角矩阵的秩。
而，所以只有一个非零特征值：
，其余的个均为0。
当时，
所以基础解系为：
从而对应的所有特征向量为
二、矩阵的相似
1、相似的定义：
设A、B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得成立，则称矩阵A与B相似，记作。
2、相似的性质
若二个矩阵相似，则它们具有相同的特征值；
若二个矩阵相似，则它们具有相同的行列式；
若二个矩阵相似，则它们具有相同的迹
若二个矩阵相似，则它们具有相同的秩
若阶矩阵相似，即。
则（为任意非负整数，当可逆时，还可以为任意负整数>
且。
3、可对角化的定义及条件
定义：
若方阵A可以和某个对角矩阵相似，则称矩阵A可对角化。
可对角化的条件：
n阶矩阵A相似于对角阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
若n阶矩阵A有n个相异的特征值，则矩阵A一定可对角化。
4、实对称矩阵的对角化
实对称矩阵的特征值都是实数；
实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的；
设A为n阶实对称矩阵，则存在n阶正交矩阵Q，使为对角阵；
史密特正交化方法。
5、典型例题
例1（三/00>
若四阶矩阵相似，的特征值为，则。
因为相似，的特征值为，所以的特征值为
从而的特征值为，故
例2（三/99>
设与为阶矩阵，且与相似，则（>
A、
B、与有相同的特征值与特征向量
C、与都相似于一个对角矩阵
D、对任意常数，与相似
D
例3（四/03>
设，已知与相似，则（>
A、2B、3C、4D、5
由与相似得：
，而相似矩阵的秩相等，所以
例4（三/92>
设与相似，（1>
求；
求可逆阵，使得。
是的特征值，所以，得
又，所以
略
例5（四/95>
设，且三阶矩阵满足，试求。
因为有三个不同的特征值，所以可以对角化，且
，使得，下略
例6（四/99>
设，问当为何值时，存在可逆矩阵，使得为对角矩阵？
并求出和相应的对角矩阵。
，所以
由于可对角化，所以
而，所以。
其余略。
例7（四/00>
设，已知有三个线性无关的特征向量，2是的二重特征值。
试求可逆矩阵，使得为对角形矩阵。
由有三个线性无关的特征向量，2是的二重特征值知：
2有二个线性无关的特征向量，所以
下略。
（三、四/94>
设有三个线性无关的特征向量，求应满足的条件。
所以
由于是二重根，且有三个线性无关的特征向量，所以
因此
当时，，此时，符合要求。
故应满足的条件是：
√例8（一、二/04>
设矩阵特征值有一个二重根，求的值，并讨论是否可以对角化。
因为有重根，所以
是的解，得：
特征值为
得基础解系为，
得基础解系：
因为有三个线性无关的特征向量，所以此时矩阵能对角化。
，得：
得基础解系为
因为只有二个线性无关的特征向量，所以矩阵不能对角化。
例9（一/03>
设矩阵，求的特征值和特征向量。
的特征值与对应的特征向量分别为：
和
所以特征值与对应的特征向量分别为：
而与相似，所以二者的特征值相同。
所以的特征值为
由于，所以是的特征向量。
（注意到和知：
的特征向量可选>
，
由此得：
的特征值为对应的特征向量分别为：
例10（四/05>
设为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量，且满足
，，
求矩阵，使得；
求矩阵的特征值；
求可逆阵，使得为对角阵。
记，则，因此求的特征值转化为求的特征值。
的特征值和对应的特征向量分别为：
记，则
所以，故
例11（一/01>
已知三阶矩阵与三维列向量，使得向量组线性无关，且满足。
记，求使得；
故，即。
例12（三/96>
设矩阵。
已知的一个特征值为3，试求；
求矩阵，使得为对角矩阵。
由得：
由于是对称矩阵，所以也对称。
可以求出正交矩阵，使得是对角矩阵，则即为所求。
具体的计算略。
例13（一/95>
设三阶实对称矩阵的特征值为，对应于的特征向量为，求。
设是的属于的特征向量，则与正交。
所以，得基础解系为。
记（正交矩阵，一般可以通过史密特正交化的方法得到>
，则
1、（三/97>
设三阶实对称矩阵的特征值是；
矩阵的属于特征值1、2的特征向量分别为。
求的属于特征值3的特征向量；
求矩阵。
设是的属于3的特征向量，则与正交。
故
，下略。
2、（四/04>
设三阶实对称矩阵的秩为2，是A的二重特征值，若都是A的属于特征值6的特征向量，（1>
求的另一特征值和对应的特征向量；
求矩阵。
因为的秩为2，所以，因此至少有一个特征值为0，故另一特征值为0。
其余同上，略。
例14（三、四/07>
设三阶对称矩阵三个特征值分别为，是的属于的特征向量，记，（1>
验证是的特征向量，并求的特征值及特征向量；
求。
由三个特征值分别为得：
的特征值为
（比较完整的写法是：
设是的特征值，则是的特征值，所以的特征值为>
设是的对应特征值的特征向量，且是对称矩阵，所以与正交，即，由此解得：
记，，则
例15（一/02>
设为同阶矩阵，（1>
如果相似，试证它们的特征多项式相同；
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