特征值与特征向量考研复习Word格式文档下载.docx

1、 设2是可逆矩阵的一个特征值，则有一特征值为（ 。A、 B、 C、 D、解：，选B练习：1、（一/98设是阶矩阵的一个特征值，则必有特征值。因为，所以的特征值为，从而是的一个特征值。2、（三/08设三阶矩阵的特征值分别为，则。的三个特征值为，所以3、 （四/96 设有四阶方阵满足：，。求的一个特征值。由知：是的一个特征值由，知：所以的一个特征值为例2 （一/95设是阶矩阵，满足，求。法一：而，所以法二：设是的任意一个特征值，是对应的特征向量，则由得，即的特征值是1或，而，所以的特征值至少有一个是，因此同类型：（四/90 设方阵A满足，试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。例3 （一

2、、二/08设为二阶矩阵，是二个线性无关的列向量，则的非零特征值为。由于，所以的一个非零特征值为1。例4 （三/02 设为阶实对称矩阵，是可逆矩阵。已知是的属于特征值的特征向量，则属于特征值的特征向量是（ A、 B、 C、 D、，因此，得选 B例5 （四/08 设三阶矩阵的特征值互不相同，且，则。至少有一个特征值为0又的特征值互不相同，所以只有一个特征值为0。因此例6 （一、二、三/05 设是矩阵的二个不同特征值，对应的特征向量分别为，则 线性无关的充要条件是（ A、 B、 C、 D、 线性无关的充要条件是只有零解由线性无关得：只有零解的充要条件是选B例7 （三/90 设为阶矩阵，是的二个不同特

3、征值，分别是属于的特征向量，试证明不是的特征向量。证明：若是的特征向量，则存在一个数，使得： 又 所以 即，又线性无关，所以 与是的二个不同特征值矛盾，所以不是的特征向量。例8 （三/04 设阶矩阵，（1求的特征值和特征向量；求可逆阵，使得为对角矩阵。 所以 1 若，则个特征值均为1，此时，所以是个线性无关的特征向量2 若，则当时， 所以是个线性无关的特征向量 当时，得是它的一个基础解系。 当时，且例9 （三、四/98 设都是非零维向量，且满足条件。记。求：；的特征值和特征向量。 设是的任意一个特征值，是对应的特征向量，则 所以，又，所以，即的个特征值均为0。由于都是非零向量，所以不妨设。当时

4、所以基础解系为：从而对应的所有特征向量为：，其中不全为零。例10 （四/03 设可逆，是的一个特征向量，是对应的特征值，求的值。由是的属于的一个特征向量，且可逆知：，且即，从而代入得：得：或。练习：（一、三/99 设矩阵，且。又设A的伴随矩阵有特征值，属于的特征向量为，求的值。由得：，解得：又，所以。例11 （一/92 设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，对应的特征向量分别为：，又将用线性表示；求（为自然数解则（也可以用相似矩阵先求，再求做，但是比较麻烦例12 （二、三、四/08 设为三阶矩阵，是的分别属于的特征向量，向量满足，（1证明线性无关；令，求。 设 （1所以 代入得： （2由于是的分别

5、属于的特征向量，所以线性无关，因此，再代入（1式得：，因，所以从而线性无关 所以。例设是一个阶正交矩阵，证明：由于是正交矩阵，所以。从而由（*因为，所以。因此，即。所以，即是的一个特征值。由此得。例设分别是阶矩阵，如果是矩阵的属于非零特征值的一个特征向量，证明是的属于特征值的一个特征向量。因为是矩阵的属于特征值的一个特征向量，所以。两边乘得：（*如果，则与，矛盾。所以。因此由（*式知：是的属于特征值的一个特征向量。例设，其中不全为零，求的特征值和特征向量。因为不全为零，所以不妨设。设是矩阵的任意一个特征值，是对应的特征向量，则。注意到，易得：又因为，所以是对称矩阵。从而一定可以对角化。因此的秩

6、等于对应对角矩阵的秩。而，所以只有一个非零特征值：，其余的个均为0。当时， 所以基础解系为：从而对应的所有特征向量为二、矩阵的相似1、相似的定义：设A、B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得成立，则称矩阵A与B相似，记作。2、相似的性质 若二个矩阵相似，则它们具有相同的特征值；若二个矩阵相似，则它们具有相同的行列式； 若二个矩阵相似，则它们具有相同的迹 若二个矩阵相似，则它们具有相同的秩 若阶矩阵相似，即。则（为任意非负整数，当 可逆时，还可以为任意负整数且。3、可对角化的定义及条件 定义：若方阵A可以和某个对角矩阵相似，则称矩阵A可对角化。 可对角化的条件： n阶矩阵A相似于对角阵的充分

7、必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 若n阶矩阵A有n个相异的特征值，则矩阵A一定可对角化。4、实对称矩阵的对角化 实对称矩阵的特征值都是实数； 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的； 设A为n阶实对称矩阵，则存在n阶正交矩阵Q，使为对角阵； 史密特正交化方法。5、典型例题例1 （三/00 若四阶矩阵相似，的特征值为，则。因为相似，的特征值为，所以的特征值为 从而的特征值为，故例2 （三/99 设与为阶矩阵，且与相似，则（ A、B、与有相同的特征值与特征向量C、与都相似于一个对角矩阵D、对任意常数，与相似D例3 （四/03 设，已知与相似，则（ A、2 B、3 C、4 D、5由与相似

8、得：，而相似矩阵的秩相等，所以例4 （三/92 设与相似，（1求；求可逆阵，使得。是的特征值，所以，得又，所以 略例5 （四/95 设，且三阶矩阵满足，试求。因为有三个不同的特征值，所以可以对角化，且，使得，下略例6 （四/99设，问当为何值时，存在可逆矩阵，使得 为对角矩阵？并求出和相应的对角矩阵。，所以 由于可对角化，所以而，所以。其余略。例7 （四/00 设，已知有三个线性无关的特征向量，2是的二重特征值。试求可逆矩阵，使得为对角形矩阵。由有三个线性无关的特征向量，2是的二重特征值知：2有二个线性无关的特征向量，所以 下略。（三、四/94 设有三个线性无关的特征向量，求应满足的条件。 所

9、以 由于是二重根，且有三个线性无关的特征向量，所以 因此 当时，此时，符合要求。故应满足的条件是：例8 （一、二/04 设矩阵特征值有一个二重根，求的值，并讨论是否可以对角化。因为有重根，所以是的解，得： 特征值为得基础解系为，得基础解系：因为有三个线性无关的特征向量，所以此时矩阵能对角化。，得：得基础解系为因为只有二个线性无关的特征向量，所以矩阵不能对角化。例9 （一/03 设矩阵，求的特征值和特征向量。的特征值与对应的特征向量分别为：和 所以特征值与对应的特征向量分别为：而与相似，所以二者的特征值相同。所以的特征值为 由于，所以是的特征向量。 （注意到和知：的特征向量可选，由此得：的特征值

10、为对应的特征向量分别为：例10 （四/05设为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量，且满足， 求矩阵，使得； 求矩阵的特征值； 求可逆阵，使得为对角阵。 记，则，因此求的特征值转化为求的特征值。的特征值和对应的特征向量分别为：记，则所以，故例11 （一/01 已知三阶矩阵与三维列向量，使得向量组线性无关，且满足。记，求使得； 故，即。例12 （三/96 设矩阵。已知的一个特征值为3，试求；求矩阵，使得为对角矩阵。 由得： 由于是对称矩阵，所以也对称。 可以求出正交矩阵，使得是对角矩阵，则即为所求。具体的计算略。例13 （一/95 设三阶实对称矩阵的特征值为，对应于的特征向量为，求。设是的属于的特征

11、向量，则与正交。 所以，得基础解系为。 记（正交矩阵，一般可以通过史密特正交化的方法得到，则1、 （三/97 设三阶实对称矩阵的特征值是；矩阵的属于特征值1、2的特征向量分别为。 求的属于特征值3的特征向量； 求矩阵。设是的属于3的特征向量，则与正交。故，下略。2、（四/04 设三阶实对称矩阵的秩为2，是A的二重特征值，若都是A的属于特征值6的特征向量，（1求的另一特征值和对应的特征向量；求矩阵。因为的秩为2，所以，因此至少有一个特征值为0，故另一特征值为0。其余同上，略。例14（三、四/07 设三阶对称矩阵三个特征值分别为，是 的属于的特征向量，记，（1 验证是的特征向量，并求的特征值及特征向量； 求。 由三个特征值分别为得：的特征值为（比较完整的写法是：设是的特征值，则是的特征值，所以的特征值为 设是的对应特征值的特征向量，且是对称矩阵，所以与正交，即，由此解得： 记，则例15 （一/02 设为同阶矩阵，（1 如果相似，试证它们的特征多项式相同；