八年级新思维9反比例函数文档格式.docx

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例4已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过

两点.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图，已知点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求点坐标；

（3）利用

（2）的结果，请问：

在轴上是否存在点，使为等腰三角形？

若存在，把符合条件的点坐标都求出来；

若不存在，请说明理由.

【答案】

（1）.

（2）解方程组，得（舍去），从而∴.

（3）符合条件的存在，有下列情况（如图所示）：

①若为底，则，由，得；

②若为腰，为底，则由，得；

③若为腰，为底，则由，得

例5如图，正方形的边长为4，反比例函数的图象过点.

（2）反比例函数的图象与线段交于点，直线过点，与线段相交于点，求点的坐标；

（3）连接，探究与的数量关系并证明.

（2012年淄博市中考题）

分析与解

（1）

（2）.

对于（3），为中点，正确作出辅助线是解题的关键.

如图，延长交的延长线于点，则≌，∴，又，∴，即①

∵≌，∴②

①+②得.

故.

曲线叠加

如图，已知反比例函数和（），在第一象限内的图象依次是曲线.

例6

（1）如图①，若点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点，则.

（2）如图②，若过点作两直线分别交于两点和两点，则∥.

（3）如图③，若一条直线与分别交于两点和两点，则.

分析与解反比例函数虽然知识点较少，但与图形结合就有较大的思考空间，问题解决的关键是充分利用的几何意义，把证明与计算相结合，读者不妨一试.

数学冲浪

知识技能广场

1.已知直线与双曲线的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点坐标为_______.

（2012年山西省中考题）

【答案】

2.已知双曲线经过点，如果两点在该双曲线上，且

，那么

（威海市中考题）

【答案】＜

3.如图，点在反比例函数（＞0，＞0）的图象上，过点作轴的垂线，垂足分别为，延长线段交轴于点，若的面积为6，则的值为_______.

（2012年河南省中考题）

【答案】4设点，则.由得.

4.函数（≥0），（＞0）的图象如图所示，则结论：

①两函数图象的交点的坐标为（2，2）；

②当＞2时，＞；

③当时，；

④当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小.其中正确结论的序号是______.

（江西省中考题）

【答案】①③④

5.点都在反比例函数的图象上，若

，则的大小关系是（）.

A.B.

C.D.

（2012年青岛市中考题）

【答案】A

6.如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点在轴的负半轴上，且，那么的面积为（）.

A.2B.C.D.

（武汉市中考题）

【答案】C

7.函数与在同一坐标系中的图象可能是（）.

（山西省中考题）

8.如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若点是轴上任意一点，连接，则的面积为（）.

A.3B.4C.5D.6

（陕西省中考题）

【答案】A连，则.

9.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，与反比例函数

在第一象限的图象交于点、点，过点作轴于，过点作轴于.

（1）求的值；

（2）求直线的函数解析式；

（3）求证：

≌.

（温州市中考题）

【答案】

（1）

（2）

（3），

又，故≌.

10.如图，已知点是反比例函数（＞0）的图象上的两个动点，点在点的上方，过作轴，过作轴，垂足分别为与相交于点，连接.

（1）若点的坐标为（6，1）.

①求的值；

②若的面积为6，求直线的解析式.

（2）若点的横坐标为，点的纵坐标为，直线与轴相交于点，与轴相交于点，探索满足什么关系时，.请写出的关系式并说明理由.

（2012年济南市中考题）

【答案】

（1）①②

（2）作轴于点轴于点，可推得当时，.

11.如图，都是等腰直角三角形，点在函数（＞0）的图象上，斜边都在轴上，则点的坐标是_______.

【答案】作于于

，得，

12.在反比例函数（＞0）的图象上，有一系列点…作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形（如图所示），将图中阴影部分的面积从左到右依次记为…，则_______，…=_______（用含的代数式表示）.

（泸州市中考题）

【答案】，将…、依次平移到的下方，的横坐标为的纵坐标为….

13.已知函数的图象与轴、轴分别交于点，与双曲线交于点，若，则的值为_______.

（十堰市中考题）

【答案】为等腰直角三角形，，由对称性可知，作垂直轴于，则

.

14.直线（＞0）与双曲线交于两点，则

_______.

（荆门市中考题）

15.如图，是函数（＞0）图象上一点，直线交轴于点，交轴于点轴于，交于轴于，交于，则的值为_______.

（北京市竞赛题）

【答案】1设.

16.

（1）已知矩形的长、宽分别是2和1，那么是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的2倍？

对上述问题，小明同学从“图形”的角度，利用函数图象给予了解决.小明论证的过程开始是这样的：

如果用分别表示矩形的长和宽，那么矩形满足.请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程；

（2）已知矩形的长和宽分别是2和1，那么是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的一半？

小明认为这个问题的答案是肯定的，你同意小明的观点吗？

为什么？

（济宁市中考题）

【答案】

（1）满足要求的（）可以看做一次函数图象与反比例函数的图象在第一象限交点的坐标.分别画出两图象（图略），从图中可以看出，这样的交点存在，即满足要求的矩形存在.

（2）不同意小明的观点.函数与函数的图象在第一象限没有交点.

17.如图，已知反比例函数的图象经过点，直线经过该反比例函数图象上的点

（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；

（2）设该直线与轴、轴分别相交于两点，与反比例函数图象的另一个交点为，连接，求的面积.

（成都市中考题）

应用探究乐园

18.如图，直线交坐标轴于两点，交双曲线于点，从点分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为，连接.

（1）求证：

平分；

（2）对任意的实数，求证：

为定值；

（3）是否存在直线，使得四边形为平行四边形？

若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由.

（2012年“希望杯”邀请赛试题）

（2）为定值.

（3）存在直线，使得四边形为平行四边形.

19.问题情境

已知矩形的面积为（为常数，＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？

最小值是多少？

数学模型

设该矩形的长为，周长为，则与的函数关系式为（＞0）.

探索研究

（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数（＞0）的图象和性质.

①填写下表，画出函数的图象；

…

1

2

3

4

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

解决问题

（2）用上述方法解“问题情境”中的问题，直接写出答案.

（南京市中考题）

【答案】

（1）①.

函数（＞0）的图象如图.

②本题答案不唯一，下列解法供参考.

当0＜＜1时，随增大而减小；

当＞1时，随增大而增大；

当时，函数（＞0）的最小值为2.

③

，当，即时，函数（＞0）的最小值为2.

（2）当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为.

面积与反比例函数（微探究）

例1如图，已知双曲线（＞0）经过矩形边的中点且交于点，四边形的面积为2，则_______.

（兰州市中考题）

【答案】连，则所以

得.

例2如图，反比例函数的图象与直线的交点为，过作轴的平行线与过点作轴的平行线相交于点，则的面积为（）.

A.8B.6C.4D.2

（深圳市中考题）

【答案】A.

例3如图，已知直线与双曲线（＞0）交于两点，且点的横坐标为4.

（2）若双曲线（＞0）上一点纵坐标为8，求的面积；

（3）过原点的另一条直线交双曲线（＞0）于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形的面积为24，求点的坐标.

（福州市中考题）

（2）就“试一试”中图②解答：

（3）∵反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，∴.

∴四边形是平行四边形，.

设点的坐标为（＞0且），过点分别作轴的垂线，垂足为，

∵点在双曲线上，∴.

若0＜＜4（如图①），

∵，

∴，

即，解得（舍去）.

故点的坐标是或

例4

（1）探究新知：

如图①，已知与的面积相等，试判断与的位置关系，并说明理由.

（2）结论应用：

①如图②，点在反比例函数（＞0）的图象上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为.试证明：

∥.

②若①中的其他条件不变，只改变点的位置，如图③所示，请判断与是否平行.

（东营市中考题）

分析与解对于

（2），通过连线，将问题转化为面积相等问题的证明.再运用

（1）的结论证明.

（1）过点分别作于点，于点，如图①所示.

∵∴，∴.即四边形为平行四边形，故∥.

（2）①如图②，连接，则，故∥.

②如图②，当在第三象限的图象上时，∥.

例5如图，点在双曲线的第一象限的图象上，轴于点，点在轴的正半轴上，且，点在线段上，且，点为的中点，，求的值.

（2012武汉市中考题）

分析与解把线段比转化为面积比，设，由面积建立的等式，整体求出的值.

连接，∵∴，∵，

∴，得.

练一练

1.如图，点是双曲线上的点，分别经过两点向轴、轴作垂线段，若，则_______.（牡丹江市中考题）

【答案】4

2.如图，函数与的图象交于两点，过点作轴于点，则的面积为_______.

3.两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，有以下结论.

①与的面积相等；

②四边形的面积不会发生变化；

③与始终相等；

④当点是的中点时，点一定是的中点.

其中一定正确的是_______.

（咸宁市中考题）

【答案】①②④

4.如图，正方形的面积是4，点在反比例函数（＞0＜0）的图象上.若点是该反比例函数图象上异于点的任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，从矩形的面积中减去其与正方形重合部分的面积，记剩余部分的面积为.则当（为常数，且0＜＜4）时，点的坐标是_______（用含的代数式表示）.

【答案】当点在点左侧时，；

当点在左右侧时，.

5.如图，直线分别与双曲线在第一象限内交于点，若，则_______.