热力学统计物理课后习题答案Word格式文档下载.docx
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x山
nx,ny,nz0,1,
2,-------
（1）
为书写简便，我们将上式简记为
aV
-——
（2）
其中V=L3是系统的体积，常量
a
2cnxnynz
‘2,并以单一指标
i代表nx,ny,nz
由
（2）式可得
l1aV43
V3
1I
3V
（3）
代入压强公式，有
PaI-
IV
1
aII
3VI
（4）
-（4丿
式中Ua,
I
I是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式，
因此上述结论对于玻尔兹曼分布，
玻色分布和费米分布
都成立。
SNkPsInPs，
s
7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为
根据式（6-6-9），处在能量为的量子态s上的平均粒子数为fse
（5）式的熵表达式是具有启发性的。
熵是广延量，具有相加性。
（5）式意味着一个粒子的
熵等于。
它取决于粒子处在各个可能状态的概率Ps。
如果粒子肯定处在某个状态r,即
=sr，粒子的熵等于零；
反之，当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零。
这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的。
如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我
们对它有完全的信息。
粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息。
所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度。
7.5固体含有A、B两种原子•试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为
当N很大时，利用公式inm!
minm1,得
Nkxinx1xin1x
SkNinN1NxinNx1N1xinNNx1
证毕
7.8气体以恒定的速度沿Z方向作整体运动。
试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分
[Px2Py2（PzPo）2]V
布为e2m3dPxdPYdPz。
h3
气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。
与分布a相应的
ai
l
气体的微观状态数为
（1）
a!
其对数为inaiin]
inai!
aiin丨
ai（inai1）----
-----
（2）
iIIi
在气体沿Z方向作整体运动的情形下，分布必须满足下述条件：
aiN;
aiiE；
aiPzPz⑶
Iii
其中PZ是气体在Z方向的总动量，Plz是处在能级I的分子所具有的Z方向动量。
气体分子的最概然分布是在限制条件（3）下，使in为极大的分布。
令各有ai的变化ai,
in将因而有变化ininai
ii
限制条件（3）要求aiN；
iaiE0；
PiZaiPZ0
iii
用拉氏乘子1,和乘这三个式子并从in中减去，得
a丨
in1NEPZ（in」iPiZ）ai0
|i
根据拉氏乘子法原理，每个ai的系数都等于零，所以有inLiPiZ0
或aiie1sPz（4）
其中Po
7：
—[pXpy（PzP0）2]v
2mpdPxdRdPz
h
代入（6）式消去，可将气体分子的动量分布表达为
3；
—[pXpy（PzP0）2]
N（）2e2mdPxdPydPZ——（9）
2m
Pz
（厂）32
Po
P：
（PzP0）2]
PZdPXdPYdPZ
利用（9）式求Pz的平均值，得
所以Po是Pz的平均值。
Po与Pz的关系为Pz=NPo
在气体具有恒定的整体速度的情形下，气体的平衡状态不受破坏，其物态方程仍由PV=NKT
描述。
根据此容易证明=1/KT
7.9气体以恒定速度vo沿Z方向作整体运动。
求分子的平均平动能量。
解：
根据上题，以恒定速度vo沿z方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为
分子平均动量的平均值为
上式头两项积分后分别等于1/2KT，第三项的积分等于
并求相对速率的平均值
解：
先求速度分布:
其中与vix有关的分量为
m
引入?
，则速度分布为:
3/2
2kT
2kTdv/VrydVrz
把变数换为Vr,QQ并对QO积分，则得到速率分布为
3/22
Vxn
4e2kTv2dvr
相对速率的平均值
d（v）n
e
m2v2kT
v3dv
7.14分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率和方均根速率。
上题已经求得了单位时间内，碰到单位面积器壁上，速率在到范围的分子数为
如果器壁有小孔，分子可以通过小孔逸出。
当小孔足够小，对容器内分子的平衡分布影响可以忽略时，单位时间内逸出的分子数就等于碰到小孔面积上的分子数。
因此在射出的分子束
平均动能为一mv22kT
2
1）式含有因子v3,而平衡态分
上述结果表明，分子束中分子的平均速率和平均动能均大于容器内气体分子的相应平均值。
原因在于，大速率分子有较大的概率从小孔逸出，使（子速率分布（7-3-9）含因子v2的缘故。
7.15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为
12222.
PxPyPzaxbx
2m
其中a、b是常数，求粒子的平均能量.
该能量表达式可改写为
22
PxPy
ax
bb2
2a4a
由能量均分定理可知：
-kT
b2
4
2kT
4a
7.16气柱的高度为H，截面为S,处在重力场中，试证明此气柱的内能和热容量为
U。
NKT
NmgH
mgH
（eKT1）
气柱的内能为
3
式中U0NKT
当mgHKT1时，（4）式右方后两项相互消去而有Cv=Cov（5）
这意味着，当气柱不高，分子在气柱顶部（Z=H）与底部（Z=0）的重力势能差远小于热运
动能量的情形下，气柱的热容量与无外场时的热容量是相同的。
当mgHKT1时，（4）式右方第三项趋于零，因此Cv=C°
v+NK（6）
这意味着，当气柱很高，分子在气柱顶部（Z=H）与底部（Z=0）的重力势能差远大于热运
动能量的情形下，气柱在重力场中具有附加的热容量NK。
mgH/.
对于300K的空气，相应于KT1的H约为104m。
因此在通常情形下，（5）式是适用的。
实际上大气温度随高度而降低。
当气柱很高时，应用玻尔兹曼分布时所作的恒温假
设并不成立。
7.17试求双原子分子理想气体的振动熵.
双原子分子理想气体的振动配分函数
Z；
e^/1e
InZ；
In1e
Nk
evT1
Nkln1
/T
引入v/k，得
7.21试求爱因斯坦固体的熵。
S3Nk[In1e]
e1
根据式（7-7-2）求得的配分函数，容易求得爱因斯坦固体的熵为
S3NK（InZ1—InZ1）3Nk[In1e]
7.22以n表晶体中磁性原予的密度•设原了的总角动量量子数为1•在外磁场下，原子磁
矩可以有三个不同的取向，即平行、垂直、反平行于外磁场•假设磁矩之间的相互作用可以
忽略.试求在温度为T时晶体的磁化强度口及其在弱场高温极限和强场低温极限下的近似值.
依题意，原子具有三个状态，能量分别为-口B、0、口B。
按玻尔兹曼分布，原子处于
这些态的几率分别为CeB,C,Ce
其中C为归一化常数，由下式决定:
晶体的磁化强度
弱场高温极限下:
Ce
1/e
B1
CeB
此时e
B,e
强场低温极限下:
B/3
-B
3kT
此时EN
e2
B/e
2B/e2BN
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