热力学统计物理课后习题答案Word格式文档下载.docx

1、x 山nx,ny,nz 0, 1,2, -（1）为书写简便，我们将上式简记为aV -（2）其中V=L3是系统的体积，常量a2 c nx ny nz2 ,并以单一指标i 代表 nx,ny,nz由（2）式可得l 1aV 43V 31 I3 V （3）代入压强公式，有P aI -I V1aI I3V I（4 ）- （4丿式中U a,II是系统的内能。上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。S Nk Ps In Ps，s7. 4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为根据式（6-6-9），处在能量为的量子态 s上的平均粒子数为 fs e（5）

2、式的熵表达式是具有启发性的。熵是广延量，具有相加性。 （5）式意味着一个粒子的熵等于 。它取决于粒子处在各个可能状态的概率 Ps。如果粒子肯定处在某个状态 r,即=s r，粒子的熵等于零；反之，当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零。这与熵 是无序度的量度的理解自然是一致的。 如果换一个角度考虑， 粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息。粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全 的信息。所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度。7. 5固体含有A、B两种原子试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为当N很大时，利用公式in m! m in m 1 ,得Nk xi

3、n x 1 x in 1 xS k N i n N 1 Nx i n Nx 1 N 1 x i nN Nx 1证毕7. 8气体以恒定的速度沿 Z方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分Px2 Py2 （Pz Po）2 V布为 e 2m 3dPxdPYdPz。h3气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。与分布 a相应的ail气体的微观状态数为 （1）a!其对数为in ai i n in ai! ai in 丨ai（in ai 1）-（2）i II i在气体沿Z方向作整体运动的情形下，分布必须满足下述条件：ai N ; ai i E ； ai Pz Pz I i i

4、其中PZ是气体在Z方向的总动量，Plz是处在能级I的分子所具有的Z方向动量。气体分子的最概然分布是在限制条件（ 3）下，使in为极大的分布。令各有 ai的变化ai,in将因而有变化 in in aii i限制条件（3）要求 ai N ； i ai E 0 ； PiZ ai PZ 0i i i用拉氏乘子 1,和乘这三个式子并从 i n中减去，得a丨in 1 N E PZ （ i n i PiZ） ai 0| i根据拉氏乘子法原理，每个 ai的系数都等于零，所以有i n L i PiZ 0或 ai ie 1 s Pz （4）其中Po7：pX py （Pz P0）2 v2m pdPxdRdPzh代入

5、（6）式消去，可将气体分子的动量分布表达为3； pX py （Pz P0）2N（ ） 2e 2m dPxdPydPZ（9）2 mPz（厂）32PoP： （Pz P0）2 PZdPXdPYdPZ利用（9）式求Pz的平均值，得所以Po是Pz的平均值。Po与Pz的关系为Pz=NPo在气体具有恒定的整体速度的情形下， 气体的平衡状态不受破坏， 其物态方程仍由PV=NKT描述。根据此容易证明 =1/KT7. 9气体以恒定速度 vo沿Z方向作整体运动。求分子的平均平动能量。 解：根据上题，以恒定速度 vo沿z方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为分子平均动量的平均值为上式头两项积分后分别等于 1/2KT

6、，第三项的积分等于并求相对速率的平均值解：先求速度分布:其中与vix有关的分量为m引入?，则速度分布为:3/22 kT2kT dv/VrydVrz把变数换为Vr, QQ并对QO积分，则得到速率分布为3/2 2 Vx n4e 2kT v2dvr相对速率的平均值d （v） nem 2 v 2kTv3dv7. 14分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率和方均根速率。上题已经求得了单位时间内，碰到单位面积器壁上，速率在到范围的分子数为如果器壁有小孔，分子可以通过小孔逸出。当小孔足够小，对容器内分子的平衡分布影响可 以忽略时，单位时间内逸出的分子数就等于碰到小孔面积上的分子数。 因此在

7、射出的分子束平均动能为一mv2 2kT21）式含有因子v3,而平衡态分上述结果表明，分子束中分子的平均速率和平均动能均大于容器内气体分子的相应平均 值。原因在于，大速率分子有较大的概率从小孔逸出，使（ 子速率分布（7-3-9）含因子v2的缘故。7. 15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为1 2 2 2 2 .Px Py Pz ax bx2m其中a、b是常数，求粒子的平均能量.该能量表达式可改写为2 2Px Pya xb b22a 4a由能量均分定理可知：- kTb242kT4a7. 16气柱的高度为 H，截面为S,处在重力场中，试证明此气柱的内能和热容量为U。 NKTNmgHmgH（

8、e KT 1）气柱的内能为3式中 U0 NKT当mgHKT 1时，（4）式右方后两项相互消去而有 Cv=Cov （ 5）这意味着，当气柱不高，分子在气柱顶部（ Z=H ）与底部（Z=0 ）的重力势能差远小于热运动能量的情形下，气柱的热容量与无外场时的热容量是相同的。当mgHKT 1时，（4）式右方第三项趋于零，因此 Cv=Cv+NK （6）这意味着，当气柱很高，分子在气柱顶部（ Z=H ）与底部（Z=0 ）的重力势能差远大于热运动能量的情形下，气柱在重力场中具有附加的热容量 NK。mgH / .对于300K的空气，相应于 KT 1的H约为104m。因此在通常情形下，（5）式是 适用的。实际上大

9、气温度随高度而降低。 当气柱很高时，应用玻尔兹曼分布时所作的恒温假设并不成立。7. 17试求双原子分子理想气体的振动熵.双原子分子理想气体的振动配分函数Z； e /1 eIn Z； In 1 eNke vT1Nkln 1/T引入v /k ，得7. 21试求爱因斯坦固体的熵。 S 3Nk In 1 e e 1根据式（7-7-2）求得的配分函数，容易求得爱因斯坦固体的熵为S 3NK（InZ1 In Z1） 3Nk In 1 e 7. 22以n表晶体中磁性原予的密度设原了的总角动量量子数为 1 在外磁场下，原子磁矩可以有三个不同的取向，即平行、 垂直、反平行于外磁场假设磁矩之间的相互作用可以忽略.试求在温度为 T时晶体的磁化强度 口及其在弱场高温极限和强场低温极限下的近似 值.依题意，原子具有三个状态，能量分别为 -口 B、0、口B。按玻尔兹曼分布，原子处于这些态的几率分别为 Ce B,C,Ce其中C为归一化常数，由下式决定:晶体的磁化强度弱场高温极限下:Ce1/eB 1Ce B此时 eB,e强场低温极限下:B /3-B3 kT此时E Ne2B/e2 B/e2 B N