届湖南长郡中学高三第二次调研考试数学理试题Word文档下载推荐.docx
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D．
3．已知角
的终边经过点
的值为
A.
B.
C.
4．下列函数中，既是奇函数，又在区间
上单调递增的函数是
C.
5．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：
“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？
”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺．问：
每天多织多少布？
”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有
A．0.55尺B．0.53尺C．0.52尺D．0.5尺
6．
的展开式中常数项为
B.
D.
7．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，若
，则“
”是“
”的
A.充分不必要条件B．必要不充分条件
C.充要条件D．既不充分也不必要条件
8．如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为
B．
D．
9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为
B．
C．
D．
10．将函数
的图像向右平移
个周期后，所得图像对应的函数为
，则函数
的单调递增区间为
A.
B.
C.
D.
11．已知抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线分别交于
、
两点，
为坐标原点，若
的面积等于
，则双曲线的离心率为
A．3B．
D．4
12．已知函数
，若函数
与直线
有2个交点，则实数
的取值范围为
A.（-∞,l] B.[2,+∞） C.（-∞,2） D.（0,+∞）
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若
满足约束条件
的最小值为_______________．
14．已知向量
，且
的夹角为
_______________．
15．知
为奇函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线斜率为____________．
16．数列
且
，若
为数列
的前
项和，则
______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）
在
中，
是
的边上的点，
.
（1）求
的值；
（2）若
，求
的长.
18．（本小题满分12分）某市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），
现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；
（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；
（2）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为X，求X的分布列及数学期望.
19．（本小题满分12分）已知正方形
和矩形
所在的平面互相垂直，
，点
在线段
上.
（1）若
为
的中点，求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
20．（本小题满分12分）已知椭圆
经过点
，且右焦点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若直线
与椭圆
交于
，
两点，当
最大时，求直线
的方程．
21．（本小题满分12分）设函数
.
（1）求曲线
处的切线方程；
（2）讨论函数
的单调性；
（3）设
当
时,若对任意的
，存在
，使得
≥
，求实数
的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，曲线C的参数方程为
，以坐标原点
为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，若直线
与曲线
相切．
（1）求曲线
的极坐标方程；
（2）在曲线
上取两点
与原点
构成
，且满足
面积的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知
.设
的最小值为
（2）解不等式
理科数学答案及评分标准
本大题共12小题，每小题5分，满分60分.
1.C2.B3.B4.A5.A6.D7.C8.B9.D10.B11.C12.C
13.
14.
15.
16.
三.解答题
17.（本小题满分12分）
解：
（1）∵
∴
，……………………
∵
，∴
.……………………
.………………………
（2）在
中,由正弦定理得：
，即
.……………
中，由余弦定理得：
.………
18.（本小题满分12分）
（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128；
图如下……………………4分
（2）乙的平均数大于甲的，乙的成绩比甲的更稳定；
……………………6分
（3）甲乙不低于140分的成绩共5个，
则X的取值为0,1,2
……7分
……………………8分
……………………9分
所以X的分布列为……………………11分
P
1
2
X
……………………12分
19.（本小题满分12分）
（1）设
，连结
因为正方形
，所以
中点
又矩形
的中点
所以
且
……………………………..2分
所以
为平行四边形
……………………………..4分
又
……………………………5分
（2）以
为原点，分别以
为
轴建立坐标系
-
则
设平面
的法向量为
由
得
……………9分
易知平面
的法向量
……………10分
由图可知二面角
为锐角
所以二面角
的余弦值为
……………12分
20.（本小题满分12分）
解:
（1）设椭圆
的左焦点
又
，所以椭圆
的方程为
．……………………4分
（2）由
，设
，……………………8分
设
当
有最大值
，此时
．……………………12分
21.（本小题满分12分）
（1）解:
因为
所以曲线
处的切线方程为
……………………4分
（2）解:
函数
的定义域为
令
，由
，知
讨论:
上单调递减，在
上单调递增.
上单调递增，在
上单调递减……………………8分
（3）解:
由（Ⅱ）知，当
则对任意的
，有
又已知存在
使得
所以
，即存在
≤
即
.因为
.所以实数
的取值范围是
.……………………12分
22.（本小题满分10分）
（1）由题意可知直线l的直角坐标方程为y＝
x＋2,
曲线C是圆心为
，半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得：
r＝
＝2；
可知曲线C的方程为
＋
＝4,
所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2
ρcosθ－2ρsinθ＝0，即ρ＝4sin
.（5分）
（2）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N
，（ρ1>
0，ρ2>
0），
S△MON＝
sin
＝
ρ1·
ρ2＝4sin
·
＝2sinθcosθ＋2
cos2θ
＝sin2θ＋
cos2θ＋
＝2sin
当θ＝
时，S△MON＝2＋
，所以△MON面积的最大值为2＋
.（10分）
23（本小题满分10分）
（Ⅰ）
当且仅当
时取等号，∴
最小值为
.…………
（Ⅱ）
时，原不等式化为
，解得
，无解.
综上，原不等式的解集为
.………………
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