第3讲 渐近线问题解析版Word格式.docx

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A．B．C．D．

【答案】A

【分析】

画出草图，求出双曲线的渐近线方程，若双曲线与直线有交点，则应满足，结合，可得e的范围.

如图所示，

双曲线的渐近线方程为，

若双曲线（，）与直线有交点，则有，

，即，解得，得.

双曲线离心率的取值范围为.

故选：

A

【点晴】

直线与双曲线相交等问题，常用数形结合的方法来考虑.

3．（2021·

全国高三专题练习（文））设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF1|=3|HF2|，则双曲线的离心率为（）

【答案】D

由题设条件推导出，，可得的坐标，由两点间的距离公式得，计算求出离心率．

由题设知双曲线C：

的一条渐近线方程为：

，

∵右焦点，且，

∴，

∴，由，解得，

∴，∴，

平方化简得，

又，

∴，即，

，即，

所以，故得，

D.

4．（2019·

全国高二专题练习（理））已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为

A．B．

C．D．

【解析】

由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得，再分别求得，根据勾股定理，求得和的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.

由过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，双曲线的渐近线方程为，

则点到渐近线的距离为，即，

则,

又由，所以为等腰三角形，则为的中点，所以，

在直角中，则，即，

整理得，解得，

又由，则，即，

所以双曲线的渐近线方程为，故选A.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

5．（2019·

安徽宿州市·

高二期中（文））过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线相交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（　　）

A．B．2C．D．

【答案】B

先由2，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．

如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．所以FB⊥OA，又因为2，所以A为线段FB的中点，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，

∠2+∠3＝90°

，所以∠1＝∠2+∠4＝2∠2＝∠3．

故∠2+∠3＝90°

＝3∠2⇒∠2＝30°

⇒∠1＝60°

⇒．

∴，e2＝4⇒e＝2．

B．

本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．

6．（2018·

江西九江市·

九江一中高二月考（理））F是双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若3，则此双曲线的离心率为（　　）

A．2B．3C．D．

由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为yx，则另一渐近线OB的方程为yx，由垂直的条件可得FA的方程，代入渐近线方程，可得A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得．

由题意得右焦点F（c，0），

设一渐近线OA的方程为yx，

则另一渐近线OB的方程为yx，

由FA的方程为y（x+c），联立方程yx，

可得A的横坐标为，

可得B的横坐标为．

由3，

可得3（c）c，

即为2c，

由e，可得2，

即有e4﹣4e2+3＝0，解得e2＝3或1（舍去），

即为e．

D．

本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点A、B的横坐标是解题的关键．

7．（2020·

安徽高三二模（理））已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．2

设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.

设点的坐标为，有，得.

双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，

所以，则，即，故，即，所以.

A.

本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.

8．（2020·

湖北高三二模（文））已知椭圆和双曲线，点P是椭圆上任意一点，且点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为定值，则双曲线的离心率为（）

根据题意，设P点坐标为，满足椭圆方程，得，再根据双曲线方恒列出渐近线方程，表达点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为使之为定点则系数为零，再计算离心率.

设，则有，即

双曲线的两渐近线方程为，

则有

依题意，要使得该式子为定值，则的值与无关，

则必须，则

.

故选:

本题考查双曲线方程渐近线方程，考查离心率问题，属于中等题型.

9．（2020·

广东汕头市·

金山中学高二月考）已知双曲线C：

（，）的左右焦点分别为，，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且，则该双曲线的离心率为（）

先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率．

由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为．

设，则，

由，解得或，

∴，．

又为双曲线的左顶点，则，

∴，，，

在中，，由余弦定理得，

即，

则，所以，则，

即，所以

∴．

本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.

10．（2020·

河北唐山市·

（文））已知是双曲线：

的右焦点，是的渐近线上一点，且轴，过作直线的平行线交的渐近线于点（为坐标原点），若，则双曲线的离心率是（）

A．2B．C．D．

设,根据轴,可得,再根据直线的方程联立渐近线方程可得,再利用求解出关于的方程,化简求得离心率即可.

设,因为轴,故.又直线：

联立直线:

可得,.

又,故,即.

化简可得,故.

故离心率.

D

本题主要考查了根据几何关系结合双曲线的性质求解离心率的问题,需要根据题意求解对应的点的坐标,再根据几何关系列式求解关于基本量之间的关系,进而化简求得离心率.属于中档题.

11．（2020·

四川广元市·

高三三模（文））已知为坐标原点,双曲线,过双曲线的左焦点作双曲线两条渐近线的平行线,与两渐近线的交点分别为,若四边形的面积为,则双曲线的离心率为（）

根据题意求出的坐标,再根据四边形的面积为可建立关于的关系,进而根据双曲线中参数的关系求解得到计算即可.

因为均与渐近线平行,故,故均为等腰三角形.故横坐标均为,又渐近线方程为.

不妨设.又四边形的面积为,故,

即,解得,故.故离心率为.

本题主要考查了双曲线的离心率求解,需要根据题意确定的坐标,进而求得面积的表达式,再列式根据双曲线基本量的关系求解离心率即可.属于中档题.

二、填空题

12．（2021·

黑龙江鹤岗市·

鹤岗一中高二期末（理））已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围___________.

【答案】

作出图形，根据已知条件可得出与的大小关系，再利用公式可求得双曲线的离心率的取值范围.

如下图所示，双曲线的渐近线方程为，

由于过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，

由图可知，直线的倾斜角，所以，，

因此，.

所以，该双曲线的离心率为取值范围是.

故答案为：

方法点睛：

求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：

一种是直接建立的关系式求或的范围；

另一种是建立、、的齐次关系式，将用、表示，令两边同除以或化为的关系式，进而求解．

13．（2021·

合肥市第六中学高二期末（文））已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为__________．

根据向量条件，求出的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论.

由题意，设，直线的方程为，

与渐近线联立，可得的坐标为，

代入双曲线方程可得，，

化简可得，

双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．

14．（2021·

内蒙古赤峰市·

高三月考（文））设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.

画出图形，由，可得是的中点，再结合题意可得垂直平分，再由双曲线的两条渐近线关于对称，从而可得，进而可求出双曲线渐近线方程

因为，所以是的中点，

因为，所以垂直平分，

所以，

因为双曲线的两条渐近线关于对称，

因为,

所以双曲线的渐近线方程为，

15．（2020·

上海高三专题练习）过双曲线右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为___________

不妨设双曲线的一条渐近线方程为，求出点的坐标，由求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可求得的值，进而解出的值，即可得出双曲线的渐近线方程.

如图，不妨设双曲线的一条渐近线方程为，

则所在直线的斜率为，直线的方程为：

联立，解得，

设，由，得，

所以，解得：

，

即，代入，得，

整理得，则，.

因此，双曲线的渐近线方程为．

．

本题考查双曲线渐近线方程的求解，解答的关键在于求出点的坐标，考查计算能力，属于中等题