第3讲 渐近线问题解析版Word格式.docx

1、A B C D【答案】A【分析】画出草图，求出双曲线的渐近线方程，若双曲线与直线有交点，则应满足，结合，可得e的范围.如图所示，双曲线的渐近线方程为，若双曲线（，）与直线有交点，则有，即，解得，得.双曲线离心率的取值范围为.故选：A【点晴】直线与双曲线相交等问题，常用数形结合的方法来考虑.3（2021全国高三专题练习（文）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF1|=3|HF2|，则双曲线的离心率为（ ）【答案】D由题设条件推导出，可得的坐标，由两点间的距离公式得，计算求出离心率由题设知双曲线C：的一条渐近线方程为：，右焦点，且，由，解得，平方

2、化简得，又，即，即，所以，故得，D.4（2019全国高二专题练习（理）已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为A BC D【解析】由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得，再分别求得，根据勾股定理，求得和的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.由过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离为，即，则,又由，所以为等腰三角形，则为的中点，所以，在直角中，则，即，整理得，解得，又由，则，即，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解

3、答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.5（2019安徽宿州市高二期中（文）过双曲线=1（a0，b0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线相交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（）A B2 C D【答案】B先由2，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B所以FBOA，又因为2，所以A为线段FB的中点，

4、24，又13，2+390，所以12+4223故2+39032230160，e24e2B本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题6（2018江西九江市九江一中高二月考（理）F是双曲线1（a0，b0）的左焦点，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B若3，则此双曲线的离心率为（）A2 B3 C D由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为yx，则另一渐近线OB的方程为yx，由垂直的条件可得FA的方程，代入渐近线方程，可得A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为yx

5、，则另一渐近线OB的方程为yx，由FA的方程为y（x+c），联立方程yx，可得A的横坐标为，可得B的横坐标为由3，可得3（c）c，即为2c，由e，可得2，即有e44e2+30，解得e23或1（舍去），即为eD本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点A、B的横坐标是解题的关键7（2020安徽高三二模（理）已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ）A B C D2设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.设点的坐标为，

6、有，得.双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，所以，则，即，故，即，所以.A.本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.8（2020湖北高三二模（文）已知椭圆和双曲线，点P是椭圆上任意一点，且点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为定值，则双曲线的离心率为（ ）根据题意，设P点坐标为，满足椭圆方程，得，再根据双曲线方恒列出渐近线方程，表达点P到双曲线的两条渐近线的距离的平方和为使之为定点则 系数为零，再计算离心率.设，则有，即双曲线的两渐近线方程为，则有依题意，要使得该式子为定值，则的值与 无关，则必须，则 .故选:本题考查双曲线方程渐近线

7、方程，考查离心率问题，属于中等题型.9（2020广东汕头市金山中学高二月考）已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为设，则，由，解得或，又为双曲线的左顶点，则，在中，由余弦定理得，即，则，所以，则，即，所以本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.10（2020河北唐山市

8、（文）已知是双曲线：的右焦点，是的渐近线上一点，且轴，过作直线的平行线交的渐近线于点（为坐标原点），若，则双曲线的离心率是（ ）A2 B C D设,根据轴,可得,再根据直线的方程联立渐近线方程可得,再利用求解出关于的方程,化简求得离心率即可.设,因为轴,故.又直线：,联立直线:可得,.又,故,即.化简可得,故.故离心率.D本题主要考查了根据几何关系结合双曲线的性质求解离心率的问题,需要根据题意求解对应的点的坐标,再根据几何关系列式求解关于基本量之间的关系,进而化简求得离心率.属于中档题.11（2020四川广元市高三三模（文）已知为坐标原点,双曲线,过双曲线的左焦点作双曲线两条渐近线的平行线,与

9、两渐近线的交点分别为,若四边形的面积为,则双曲线的离心率为（ ）根据题意求出的坐标,再根据四边形的面积为可建立关于的关系,进而根据双曲线中参数的关系求解得到计算即可.因为均与渐近线平行,故,故均为等腰三角形.故横坐标均为,又渐近线方程为.不妨设.又四边形的面积为,故,即,解得,故.故离心率为.本题主要考查了双曲线的离心率求解,需要根据题意确定的坐标,进而求得面积的表达式,再列式根据双曲线基本量的关系求解离心率即可.属于中档题.二、填空题12（2021黑龙江鹤岗市鹤岗一中高二期末（理）已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围_.【

10、答案】作出图形，根据已知条件可得出与的大小关系，再利用公式可求得双曲线的离心率的取值范围.如下图所示，双曲线的渐近线方程为，由于过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，由图可知，直线的倾斜角，所以，因此，.所以，该双曲线的离心率为取值范围是.故答案为：方法点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立的关系式求或的范围；另一种是建立、的齐次关系式，将用、表示，令两边同除以或化为的关系式，进而求解13（2021合肥市第六中学高二期末（文）已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为_根据向量条件，求出的坐标，代入双曲

11、线方程，即可得出结论.由题意，设，直线的方程为，与渐近线联立，可得的坐标为，代入双曲线方程可得，化简可得，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）14（2021内蒙古赤峰市高三月考（文）设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为_.画出图形，由，可得是的中点，再

12、结合题意可得垂直平分，再由双曲线的两条渐近线关于对称，从而可得，进而可求出双曲线渐近线方程因为，所以是的中点，因为，所以垂直平分，所以，因为双曲线的两条渐近线关于对称，因为,所以双曲线的渐近线方程为，15（2020上海高三专题练习）过双曲线右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线交于点，若 ，则双曲线的渐近线方程为_不妨设双曲线的一条渐近线方程为，求出点的坐标，由求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可求得的值，进而解出的值，即可得出双曲线的渐近线方程.如图，不妨设双曲线的一条渐近线方程为，则所在直线的斜率为，直线的方程为：联立，解得，设，由，得，所以，解得： ，即，代入，得，整理得，则，.因此，双曲线的渐近线方程为本题考查双曲线渐近线方程的求解，解答的关键在于求出点的坐标，考查计算能力，属于中等题