小波变换课件第1章Haar小波Word格式文档下载.docx
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该序列叫做原序列的小波变换，叫做小波系数。
还可以反过来表示：
这是用｛,｝来恢复原信号、；
用｛,｝来恢复原信号、。
也就是反变换。
●小波变换过程的塔式算法：
例如，＝｛3，1，－2，4｝
最终的小波变换为=
1.3尺度函数与小波函数
（1）Haar尺度函数
不压缩：
不位移位移一个单位位移k个单位
压缩1/倍，不位移压缩1/倍，位移一个单位压缩1/倍，移位K个单位
一般，
◆几个术语
1）支撑（支集），（尺度）函数不为零的区间，上例中为。
2）支撑的宽度，Haar尺度函数的宽度为。
3）为分辨率，越大，尺度越小，分辨率越高。
4）=为尺度。
（分辨率越高，尺度越小）
（2）.Haar小波函数
◆Haar小波函数与尺度函数的关系
v不平移、不压缩；
平移一个单位；
………平移K个单位。
v不平移，压缩1/倍；
…先平移一个单位，再压缩1/倍，…平移个K单位，再压缩1/倍。
◆Haar小波函数的一般形式：
=，
位移k个单位，压缩倍。
（3）.分段常数函数
也可将序列看成分段常数序列。
用尺度函数和小波函数描述分段常数函数
++
写成
=
重写
+
+
故得
＝＋
注释：
序列可由尺度函数和小波函数的系数来表示，既
为的小波变换（系数）。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
1.5小波变换的计算
♦设是长度为（是大于1的整数）的离散序列，记为。
函数展开为
（1-20）
将函数做一次小波分解，得
（1-21）
重复分解多次，可得在不同尺度下尺度函数和小波函数的展开式。
♦归一化尺度函数和小波函数
归一化又叫做标准化或规范化，计算方法如下：
，（限制在横轴0之间）
标准化尺度函数
仍记为
（1-22）
同理，可得标准化Haar小波函数
（1-23）
◆标准化二尺度方程
（1-24，1-25）
标准化函数的物理意义是，尺度函数和小波函数在不同分辨率下具有相同的能量，从而可推出信号进行小波变换前、后能量相等，既
=+
♦如何从快速计算小波变换系数：
♣重写（1-21）式
♣现将式（1-21）二端在范围内对做内积，得
==（1-26）
这里正交性保证了（1-26）式右边只有一项内积不为零；
尺度函数的标准化保证了积分结果为1。
♣再将式（1-20）,即代入（1-26）,左边得
==
若设k=0，则=
①
所以，
②
所以，
因此，
即
♣一般有，
，
1）归一化后，
2）关于积分
♣同理，有小波系数
1.7小波变换的滤波器组实现―――Mallat算法
1.7.1离散序列的巻积
已知序列
做巻积的两个序列的长度不一定相等。
1）由巻积公式求巻积：
记为与巻积后得到的新序列，为第个元素，则
==
［例1－1］={1,0.1,-1}m=2；
={0.1，1，0.1，-1}k=3，
求卷积和。
①简便算法
从下面序列最右边一项开始，分别与
上面序列各项相乘，直到下面序列最
左边一项完成同样相乘，再按列相加。
这种方法结果序列下标是原两序列下
标位的代数和确定的。
利用这种方法，
卷积和可一次计算出来，而且下标确
定简单。
②用MATLAB实现：
a=[0.1,1,0.1,-1];
b=[1,0.1,-1];
y=conv（a,b）
ans=
0.10001.01000.1000-1.9900-0.20001.0000
③滑尺法
两序列0点对齐，计算对应元素乘积并求和得y（0）；
下列向右滑动一位，再计算各对应元素乘积并求和，
得y
（1）；
……直到所有n>
0情况下对应元素乘积再
求和等于零为止。
回到两序列0点对齐位置，向左
滑动一位，计算各对应元素乘积并求和得y（-1）；
再
向左滑动一位，……,直到所有n<
0情况下对应元素乘积再求和等于零为止。
这种方法最大优点是结果的下标确定直观，但计算稍复杂。
2）域中的巻积
［例1－2］，=
将序列中的每一项转换为的多项式，得
所以，={3，8，1，-2}。
1.7.2二通道滤波器组
高频成分（细节）
低频成分（近似或概貌）
受污染信号
分析滤波器综合滤波器
♦虚线左：
分析滤波器
1）信号通过两路互补对称的
滤波器后,整个频带被划分为
二，得到近似和细节二路信
号。
每路信频宽带是原来的
一半。
2）若原始信号由1000个点,
通过两路互补对称的滤波
器后,共得到2000个点，存
在信息冗余。
3）增加抽样器可减少滤波器
输出数据冗余。
表示2抽取（2元下采样），信号带宽减半，采样率减半，不引起信息丢失。
♦虚线右：
综合滤波器――用来恢复原信号。
低通滤波器；
高通滤波器。
♦二元下抽样：
用表示，每隔一个元素抽取一个，定义算子D：
若，那么二元下抽样序列为
D
或（D
♦对于分析滤波器：
输入信号与低通滤波器做卷积，再进行二元下抽样,得到低频系数；
输入信号与低通滤波器做卷积，再进行二元下抽样,得到高频系数；
♦对于综合滤波器：
低频系数进行二元上抽样后再与低通滤波器做卷积；
高频系数进行二元上抽样后再与高通滤波器做卷积,两个序列相加得到重构信号；
♦二元上抽样
用表示，向序列中每隔一个元素插入一个零，组成一个新序列，定义算子U：
若，那么二元上抽样序列为
U
或
1.7.2小波变换的滤波器组算法
◆对于二尺度方程
改写成和，
则系数序列为和。
令=，=。
可以验证
◆和就是我们以后要用到的滤波器，记，其中，称为的时序反转。
特别是对于Haar小波，有
◆小波变换的滤波器组算法
1）分析滤波器实现Haar小波分解
对于任一长度为的输入序列，利用求平均和细节的方法，可得低频分量和高频分量：
=
其中，
小波变换的滤波器组算法，就是输入序列对滤波器系数作巻积。
为此先将原信号序列补零扩展成无穷序列，再作巻积。
从而，
500个
1000个
图1-15用分析滤波器实现Haar小波变换
2）用综合滤波器实现Haar小波重构
先作上抽样，再与滤波器作巻积。
于是，
Haar小波重构计算公式为
图1－16用综合滤波器实现Haar小波重构
………………………………………………………………………………………
[例1.4］输入信号，用Haar小波滤波器组算法实现信号的小波分解和重构。
首先将有限信号通过两端补零的方法，将嵌入一个无限长的信号{…0,0,a,b,0,0,…}中，
=,
={1,1},={1,-1}
（）
={},={}
（b）
，
={1，1}，
（c）
图18（续）
[例1.5]设信号={4，-2，1，3}，用Haar小波滤波器组,实现信号的小波分解与重构。
图19{4，-2，1，3}的小波滤波器组的小波分解与重构
图19（续）
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