1、该序列叫做原序列的小波变换,叫做小波系数。还可以反过来表示:这是用,来恢复原信号、;用,来恢复原信号、。也就是反变换。 小波变换过程的塔式算法:例如,3,1,2,4最终的小波变换为=1.3 尺度函数与小波函数(1)Haar尺度函数不压缩:不位移 位移一个单位 位移k个单位压缩1/倍,不位移 压缩1/倍,位移一个单位 压缩1/倍,移位K个单位一般 , 几个术语1) 支撑(支集),(尺度)函数不为零的区间,上例中为。2) 支撑的宽度,Haar尺度函数的宽度为。3) 为分辨率,越大,尺度越小,分辨率越高。4) =为尺度。(分辨率越高,尺度越小)(2).Haar小波函数 Haar小波函数与尺度函数的关
2、系v 不平移、不压缩; 平移一个单位 ; 平移 K个 单位。 v 不平移,压缩1/倍; 先平移一个单位,再压缩1/倍, 平移个K单位,再压缩1/倍。 H aar小波函数的一般形式:=,位移k个单位,压缩倍。(3). 分段常数函数也可将序列看成分段常数序列。用尺度函数和小波函数描述分段常数函数+写成=重写 +故得 注释:序列可由尺度函数和小波函数的系数来表示,既为的小波变换(系数)。,1.5 小波变换的计算 设是长度为(是大于1的整数)的离散序列,记为。函数展开为 (1-20)将函数做一次小波分解,得 (1-21)重复分解多次,可得在不同尺度下尺度函数和小波函数的展开式。 归一化尺度函数和小波函
3、数归一化又叫做标准化或规范化,计算方法如下: ,(限制在横轴0之间)标准化尺度函数仍记为 (1-22)同理,可得标准化Haar小波函数 (1-23) 标准化二尺度方程 (1-24,1-25) 标准化函数的物理意义是,尺度函数和小波函数在不同分辨率下具有相同的能量,从而可推出信号进行小波变换前、后能量相等,既 =+ 如何从快速计算小波变换系数: 重写(1-21)式 现将式(1-21)二端在范围内对做内积,得 = (1-26)这里正交性保证了(1-26)式右边只有一项内积不为零;尺度函数的标准化保证了积分结果为1。 再将式(1-20),即代入(1-26),左边得 =若设k=0,则= 所以, 所以,
4、 因此, 即 一般有, , 1)归一化后, 2)关于积分 同理,有小波系数 1.7 小波变换的滤波器组实现Mallat算法1.7.1 离散序列的巻积已知序列做巻积的两个序列的长度不一定相等。1)由巻积公式求巻积:记为与巻积后得到的新序列,为第个元素,则=例11=1,0.1,-1 m=2 ; =0.1,1,0.1,-1 k=3,求卷积和。简便算法从下面序列最右边一项开始,分别与上面序列各项相乘,直到下面序列最左边一项完成同样相乘,再按列相加。这种方法结果序列下标是原两序列下标位的代数和确定的。利用这种方法,卷积和可一次计算出来,而且下标确定简单。用MATLAB 实现:a=0.1,1,0.1,-1
5、;b=1,0.1,-1;y=conv(a ,b)ans = 0.1000 1.0100 0.1000 -1.9900 -0.2000 1.0000滑尺法两序列0点对齐,计算对应元素乘积并求和得y(0);下列向右滑动一位,再计算各对应元素乘积并求和,得y(1); 直到所有n0情况下对应元素乘积再求和等于零为止。回到两序列0点对齐位置,向左滑动一位,计算各对应元素乘积并求和得y(-1);再向左滑动一位,, 直到所有n0情况下对应元素乘积再求和等于零为止。这种方法最大优点是结果的下标确定直观,但计算稍复杂。2)域中的巻积例12,=将序列中的每一项转换为的多项式,得所以,=3,8,1,-2。1.7.2
6、 二通道滤波器组 高频成分(细节)低频成分(近似或概貌)受污染信号 分析滤波器 综合滤波器 虚线左:分析滤波器1)信号通过两路互补对称的滤波器后,整个频带被划分为二,得到近似和细节二路信号。每路信频宽带是原来的一半。2)若原始信号由1000个点,通过两路互补对称的滤波器后,共得到2000个点,存在信息冗余。3)增加抽样器可减少滤波器输出数据冗余。表示2抽取(2元下采样),信号带宽减半,采样率减半,不引起信息丢失。 虚线右:综合滤波器用来恢复原信号。低通滤波器; 高通滤波器。 二元下抽样: 用表示,每隔一个元素抽取一个,定义算子D: 若,那么二元下抽样序列为 D或 (D 对于分析滤波器:输入信号
7、与低通滤波器做卷积,再进行二元下抽样,得到低频系数;输入信号与低通滤波器做卷积,再进行二元下抽样,得到高频系数; 对于综合滤波器:低频系数进行二元上抽样后再与低通滤波器做卷积;高频系数进行二元上抽样后再与高通滤波器做卷积,两个序列相加得到重构信号; 二元上抽样用表示,向序列中每隔一个元素插入一个零,组成一个新序列,定义算子U:若,那么二元上抽样序列为U或 1.7.2 小波变换的滤波器组算法 对于二尺度方程改写成和,则系数序列为和。令=,=。可以验证 和就是我们以后要用到的滤波器,记,其中,称为的时序反转。特别是对于Haar小波,有 小波变换的滤波器组算法1)分析滤波器实现Haar小波分解对于任
8、一长度为的输入序列,利用求平均和细节的方法,可得低频分量和高频分量:= 其中,小波变换的滤波器组算法,就是输入序列对滤波器系数作巻积。为此先将原信号序列补零扩展成无穷序列,再作巻积。从而,500个1000个图1-15 用分析滤波器实现Haar小波变换2)用综合滤波器实现Haar小波重构先作上抽样,再与滤波器作巻积。 于是,Haar小波重构计算公式为图116 用综合滤波器实现Haar小波重构例1.4输入信号,用Haar小波滤波器组算法实现信号的小波分解和重构。首先将有限信号通过两端补零的方法,将嵌入一个无限长的信号0,0,a,b,0,0,中,, =, = 1,1, = 1,-1 ()= , = (b), = 1,1, (c)图18 (续)例1.5 设信号=4,-2,1,3,用Haar小波滤波器组, 实现信号的小波分解与重构。 图19 4,-2,1,3的小波滤波器组的小波分解与重构图19 (续)
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