均值不等式和柯西不等式Word格式.docx

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教学目标

灵活的运用均值不等式和柯西不等式求最值

教学重点和难点

重点和难点在于如何用有效的方法去解决最值问题

参考教材

网资

教学流程及授课详案

1、柯西不等式和均值不等式

1、柯西不等式:

二维形式的柯西不等式：

当且仅当时,等号成立．

三维形式的柯西不等式:

一般形式的柯西不等式：

２、均值不等式及使用条件:

均值不等式，若，则

（１）是正数；

（2）和（）或（）为定值;

（3）当且仅当时，取等号。

在运用均值不等式解题时,必须满足“一正、二定、三相等”的条件。

但有的题目不能直接利用均值不等式，因此要作一些技巧性转化、变形,才能求得正确的最值。

　二例题:

1、柯西不等式向量求最值

　1、设,试求的最大值与最小值。

答：

根据柯西不等式

　即

　而有

　故的最大值为１5，最小值为–1５。

2、设，试求之最小值。

答案：

考虑以下两组向量

　　　　=（２，–１,–２）　=（x,ｙ,z）根据柯西不等式，就有

　即

　　　将代入其中,得　而有

　　故之最小值为４。

3、设，,求的最小值m,并求此时x、ｙ、z之值。

Aｎs：

4设x，y，z∈R,２ｘ　+2y+　z　+8　=0,则（ｘ-1）2+（y+2）２　+（z-　3）2之最小值为　

解:

２x　+2y+ｚ　+8　=　0⇒　2（ｘ-1）+2（ｙ+2）+（z-3）=-9，

　=　（，　,　　）　,　=（　　，　,　）

ﻫ[２（x　-1）　+　2（y　+2）+（z-3）］2　≤［（x　-１）２+（y+2）2　+（ｚ-　３）2].（2２+　22　+１2）ﻫ⇒（ｘ-　１）2+　（ｙ+2）２　+（z-3）２≥=　9

5设x,　y，zＲ,若，则之最小值为___＿＿___，又此时____＿＿__。

⇒　2x-3（y-1）　+　z=（　　　），

　　　　=（　,　　　,　　）　　,=（　,　,）　

解析:

　∴最小值

　　∴　∴

6设a,b,c均为正数且a　+b　+　c　=9,则之最小值为　　　　

　　＝　（　　　,,　　　）,＝（,　　，　）

　　　（）（ａ+　b+　ｃ）ﻫ⇒（）.9≥（2+3+4）2=　81ﻫ⇒　≥=　9

7、设a,b，ｃ均为正数，且,则之最小值为_＿＿____＿,此时___＿_＿_＿。

解：

　=　（　,　,　）　　,=（　,　,）　

　∴,最小值为１8等号发生于故

∴又∴

2、均值不等式几种常见的方法

一、凑正值

例１设x<

-１,求函数的最值。

分析：

欲用均值不等式来解。

因，则不满足“正”的条件,故需利用已知条件调整其符号。

因为,即,所以，

则

。

当且仅当,即时，y有最大值，且，y无最小值。

评注:

（1）本题通过“凑”，利用条件将有关项化为正值，从而满足公式中正的条件。

否则就会出现，则的错误。

（2）对于分式函数,常常等价转化为的形式再求最值。

常用的转化方法有分离系数法、换元法等。

二、变定值

例2求函数的最小值。

分析:

因并非“定值”，故不能直接运用均值不等式,为此需对原式按拆（添）项重组。

原函数化为

因为

所以。

当且仅当即x＝1，x=-1时,。

通过拆（添）项,“变”也定值是本题求解的关键。

对此要弄清以“谁”为“基准”（如本题中以为基准）来拆、添、配、凑,做到有的放矢。

例3　求函数的最大值。

因定值,故需拆凑使其满足定值条件，原函数中有一个因式，为使其余因式与（）之和为定值,需以（）为准将拆成，这时就有定值。

当且仅当,即时，。

评注：

一般说，凑“和”为定值较难,它需要一定的技巧。

当然这种技巧来源于对均值定理的真正理解和基本的恒等变形能力。

三、找等号

例4　求函数的最小值。

错解:

直接利用均值不等式，得

这种解法之所以错误,原因是，即取不到“等”的条件。

正解:

原函数拆项，得

因为，当且仅当即时等号成立,

又因为

所以,当且仅当时取等号。

上面两式同时取等号，故。

错解中取不到等号成立的条件是当时,,则，这是不可能的。

本例也告诉我们，在用均值不等式求三角函数最值时,既要考虑等号,又要考虑三角函数的有界性,使等号成立的条件与三角函数的有界性保持一致。

四、综合变换

例5求函数的最小值，下列解法是否正确?

为什么？

解法1:

解法２：

当，即时，

所给两种解法均有错误。

解法1错在取不到“等”,即不存在x使,解法2错在不是定值。

正解：

对原函数合理拆（添）项,得

当且仅当，即时,。

通过以上几例我们体会到:

均值定理真重要，用于最值有诀窍,正确理解“正、定、等”,合理进行拆、拼、凑。

练习:

1.已知x>

0,y＞0,且，求的最小值。

2.若ａ＞0,ｂ>

0，且，求ａb的最小值。

3．求的最大值。

答案与提示：

１.　由（定值）,又知x＞1,ｙ>

9,故当且仅当x-１＝y－9=3，即x=４,ｙ＝12时,。

2.　由,得

3.　，

此时，,故当时，。

一、配凑

１.　凑系数

例１．当时,求的最大值。

2.凑项

例２.已知，求函数的最大值。

3．　分离

例３.求的值域。

二、整体代换

例4.已知，求的最小值。

三、换元

例5.　求函数的最大值。

四、取平方

例6.求函数的最大值。

[练一练]

1.若,求的最大值。

2.求函数的最小值。

3.求函数的最小值。

4.已知，且,求的最小值。

５设是满足的正数，则的最大值是（　　）

6若，且恒成立,则a的最小值是（　）

7

8　已知函数f（x）=,x∈［１,+∞

（1）当a＝时，求函数f（x）的最小值

（2）若对任意x∈[１,+∞,f（x）＞0恒成立,试求实数a的取值范围

９已知,且,则的最大值为

10设且,求的最大值

1１求的最小值。

１2、设x,ｙ,ｚ　∈Ｒ且,求x+　y+z之最大值,最小值。

13、已知正数x,y，z满足x＋y+ｚ=ｘyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围.

1４、设a，b,ｃ,ｘ,ｙ,z均为正实数，且满足ａ2＋b２+c2=25,ｘ２+ｙ2+z2＝3６,ax+by＋cz＝30.求的值.

时间分配及备注

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