学年高考数学总复习 计数原理复习学案 新人教A版docWord文档下载推荐.docx

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4、组合：

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合。

基础自测：

1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.

①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

2、用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为

3、甲组有5名男同学，3名女同学；

乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）

（A）150种（B）180种（C）300种（D）345种

典型例题

分类加法计数原理

例1、某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

变式训练：

从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有______种。

分步乘法计数原理

例2、某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，不同的安排方法共有种．（用数字作答）

给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z,后两个要求用数字1～9．问最多可以给多少个程序命名？

两个原理的应用

1、用0、1、2---9十个数字，可以组成多少个：

（1）无重复数字的三位数？

（2）三位数？

（3）小于500的无重复数字的三位数？

（4）小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位数？

（5）小于100的无重复数字的自然数？

2从一个小组的6名学生中产生一名组长，一名学生代表，在下列条件下各有多少种不同的选法？

不允许兼职？

（2）允许兼职？

3、电路图如图所示，从A到B共有条不同的线路可通电.

4、2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

A.36种B.12种C.18种D.48种

4、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

第二节排列与组合

1。

排列与排列数公式

（1）排列的概念。

从n个不同元素中，任取m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素取出m个元素的一个排列；

特别地，m=n时，叫做n个元素的一个全排列。

（2）排列数公式。

从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素取出m个元素的的排列数，用符号表示，排列数公式为=n×

（n-1）×

（n-2）×

（n–m+1）=；

特别地=n!

，并规定0！

=1。

组合与组合数公式

（1）组合的概念。

从n个不同元素中，任取m（）个元素并成一组，叫做从n个不同元素取出m个元素的一个组合。

（2）组合数公式

从n个不同元素中取出m（）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素取出m个元素的的组合数，用符号表示，组合数公式为

3。

组合数的性质

（1）=；

（2）=+；

并规定=1。

1、计算

（1）=

（2）=

（3）若，则n=,m=

（4）=（5）=

2、平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

3、平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？

典例分析

排列问题：

⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

⑵7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？

⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种

组合问题：

在100件产品中有98件合格品，2件次品。

产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。

（1）一共有多少种不同的抽法?

（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?

（4）抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？

变式训练

1、某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有

（A）30种（B）36种

（C）42种（D）48种

2、某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A.504种B.960种C.1008种D.1108种

3、某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）

A.14B.24C.28D.48

4、12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）

A．B．C．D．

第三节二项式定理

二项式定理的有关概念。

（1）公式：

（2）公式右边的多项式

称为二项式的展开式。

（3）展开式中的系数（r=0,1,2,…,n）称为系数。

（4）展开式的通项为第r+1项，记为。

二项式系数的性质

（1）展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即

（2）若二项式的指数是偶数，则展开式的中间一项，即第项的二项式系数最大；

若二项式的指数是奇数。

则展开式的中间两项，即第项和第项的二项式系数相等且最大。

（3）展开式中的所有二项式系数的和等于，即。

（4）展开式中的奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即

。

1、展开．

2、求的展开式中的倒数第项

3、求的展开式常数项

4、求的展开式的第3项.

5、写出的展开式的第r+1项

6、求的展开式中的系数及二项式系数

例1．已知的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值

1、求的展开式中的系数

2．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

（1）证明展开式中没有常数项；

（2）求展开式中所有的有理项

巩固训练

1.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.

2.用二项式定理展开：

（1）；

（2）.

3.化简：

（2）

4．展开式中的第项为，求．

5．求展开式的中间项

6、若展开式中含的项是第8项，则展开式中含的项是（）

　A．第8项　　B．第9项　　C．第10项　　D．第11项

7、已知展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（）

A．28B．38C．1或38D．1或28

8、设，则的值是（）

A．B．C．D．

第四节排列、组合与二项式定理综合问题

1.分类与分步

复杂事件A的排列与组合问题，需要对A在一个标准下分类，不重不漏，然后讨论；

完成分类以后，对每一类再进行分步，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”。

有序与无序

界定排列与组合问题唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题。

元素和位置

解题过程中，要优先安排有限制条件的特殊元素和特殊位置，并灵活运用“捆绑法”、“插空法”、“直接法”和“间接法”等。

第十一章概率

第一节随机事件的概率55

随机事件的概率

（1）必然事件：

在一定条件下，必然要发生的事件。

（2）不可能事件：

在一定条件下，不可能发生的事件。

（3）随机事件：

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

（4）事件A的概率：

在大量、重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某一个常数，且在他的附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。

范围：

0。

特例：

必然事件P（A）=1，不可能事件P（A）=0。

等可能性事件的概率

（1）基本事件：

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

（2）等可能性事件的概率：

如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率：

P（A）=。

从集合角度分析：

在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集，包含m个结果的事件对应于I的含有m个元素的子集A，因此从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数与集合I的元素个数的比值。

第二节互斥事件有一个发生的概率

互斥事件与对立事件

（1）互斥事件：

如果事件A与B不能同时发生（即A发生B必不发生），那么称事件A、B为互斥事件（或称互不相容事件），如果事件中任何两个都是互斥事件，那么称事件彼此互斥。

（2）对立事件：

如果事件A与B不能同时发生，且事件A与B中必有一个发生，则称事件A与B互为对立事件，事件A的对立事件通常记作。

互斥事件有一个发生的概率

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）。

一般的，如果事件彼此互斥，则

P（。

第三节相互独立事件同时发生的概率

相互独立事件

（1）相互独立事件的定义：

事件A（或B）是否发生对于事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

（2）若A和B是相互独立事件，则A与，与B，与也都是相互独立事件。

（3）两个相互独立事件A、B同时发生（记作）的概率为P（）=P（A）P（B）。

一般的，如果事件相互独立，那么这几个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积，即P（）=.

2.独立重复试验

（1）独立重复试验（也称贝努里试验）：

是指在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的试验。

（2）若在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为P（k）