初中平方根知识讲解Word文件下载.docx
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和
2．联系：
（1）平方根包含算术平方根；
方根与算术平方根都是0
【答案】C；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.因为＝5，所以本说法正确；
B.因为±
＝±
1，所以l是l的一个平方根说法正确；
C.因为±
4，所以本说法错误；
D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．
举一反三：
【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）没有平方根．（）
（2）．（）
（3）的平方根是．（）
（4）是的算术平方根．（）
【答案】√；
×
；
√；
×
，
提示：
（2）；
（4）是的算术平方根．
2、填空：
（1）是的负平方根．
（2）表示的算术平方根，．
（3）的算术平方根为．
（4）若，则，若，则．
【思路点拨】
（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.
【答案与解析】
（1）16；
（2）（3）（4）9；
±
3
【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.
【变式1】下列说法中正确的有（）：
①3是9的平方根．②9的平方根是3．
③4是8的正的平方根．④是64的负的平方根．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B；
提示：
①④是正确的.
【变式2】求下列各式的值：
（1）3
（2）（3）（4）
【答案】
（1）15；
（2）15；
（3）－0.3；
（4）
3、使代数式有意义的的取值范围是______________．
【答案】≥；
【解析】＋1≥0，解得≥.
【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
【变式】代数式＝有意义，则的取值范围是．
【答案】.
类型二、利用平方根解方程
4、求下列各式中的.
（1）
（2）；
（3）
【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程，但是本题可以通过开平方的方法
（2）小题将看作一个整体，（3）小题将看作一个整体，求出它们的解后，再求.
解：
（1）∵∴∴
（2）∵∴∴＋1＝±
17＝16或＝－18.
（3）∵∴∴∴
【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.
（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.
类型三、平方根的应用
5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？
设宽为，长为3，
由题意得，·
3＝1323
3＝1323
＝－21（舍去）
答：
长为63米，宽为21米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.
（提高）
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值．
【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2－4＝－（3－1），解方程即可求解．
依题意得2－4＝－（3－1），
解得＝1；
∴的值为1．
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
【变式】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.
【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数.
①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝
②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以
2、为何值时，下列各式有意义？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
（1）因为，所以当取任何值时，都有意义．
（2）由题意可知：
，所以时，有意义．
（3）由题意可知：
解得：
．所以时有意义．
（4）由题意可知：
，解得且．
所以当且时，有意义．
【总结升华】
（1）当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．
（2）当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．
【变式】已知，求的算术平方根．
根据题意，得则，所以＝2，∴，
∴的算术平方根为．
类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值．
（2）．
（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.
（2）注意运算顺序.
（1）混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．
（2）初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．
类型三、利用平方根解方程
（1）∵∴∴
（2）∵∴∴＋1＝±
（3）∵∴∴∴
【变式】求下列等式中的：
（1）若，则＝______；
（2），则＝______；
（3）若则＝______；
（4）若，则＝______．
（1）±
1.1；
（2）±
13；
（3）；
（4）±
2.
类型四、平方根的综合应用
5、已知、是实数，且，解关于的方程．
∵、是实数，，，，
∴，．
∴－3，．
把－3，代入，得－＋2＝－4，∴＝6．
【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出、的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．
【变式】若，求的值．
由，得，，即，．
①当＝1，＝－1时，．
②当＝－1，＝－1时，．
6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
设长方形纸片的长为3（＞0），则宽为2，依题意得
.
.
∵＞0，
∴.
∴长方形纸片的长为.
∵50＞49,
∴.
∴,即长方形纸片的长大于20.
由正方形纸片的面积为400,可知其边长为20,
∴长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答:
小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.
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