届山东省青岛市高三上学期期末考试理科数学试题及答案Word文件下载.docx
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③函数上为增函数;
④椭圆的焦距为2,则实数m的值等于5.
其中正确命题的序号为
A.①③④B.②③④C.②④D.②
6.若圆台两底面周长的比是1:
4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是
A.1:
16B.39:
129
C.13:
129D.3:
27
7.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是
A.2016B.2
C.D.
8.函数的零点所在的大致区间是
A.B.
C.D.
9.有3位同学参加测试,假设每位同学能通过测试的概率都是,且各人能否通过测试是相互独立的,则至少以后一位同学能通过测试的概率为
A.B.C.D.
10.已知函数有两个极值点,则直线的斜率的取值范围是
第II卷(非选择题共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.的展开式中的常数项是_________.
12.当时,函数的图像恒过点A,若点A在直线上,则的最小值为_________.
13.两曲线所围成的图形的面积是_________.
14.若数列的通项公式为,试通过计算的值,推测出_________.
15.已知双曲线的方程为,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率e为__________.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知直线两直线中,内角A,B,C对边分别为时,两直线恰好相互垂直;
(I)求A值;
(II)求b和的面积
17.(本小题满分12分)
右图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知80~90分数段的学员数为21人
(I)求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数;
(II)现欲将90~95分数段内的名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校,若向学校甲分配两名毕业生,且其中至少有一名男生的概率为,求名毕业生中男女各几人(男女人数均至少两人)?
(III)在(II)的结论下,设随机变量表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数,求的分布列和数学期望.
18.(本小题满分12分)
如图,ABCD为梯形,平面ABCD,AB//CD,
,E为BC中点,连结AE,交BD于O.
(I)平面平面PAE
(II)求二面角的大小(若非特殊角,求出其余弦即可)
19.(本小题满分12分)
已知是等差数列的前n项和,数列是等比数列,恰为的等比中项,圆,直线,对任意,直线都与圆C相切.
(I)求数列的通项公式;
(II)若时,的前n项和为,求证:
对任意,都有
20.(本小题满分13分)
已知处的切线为
(I)求的值;
(II)若的极值;
(III)设,是否存在实数(,为自然常数)时,函数的最小值为3.
21.(本小题满分14分)
已知抛物线上一点到其焦点F的距离为4;
椭圆的离心率,且过抛物线的焦点F.
(I)求抛物线和椭圆的标准方程;
(II)过点F的直线交抛物线于A、B两不同点,交轴于点N,已知,求证:
为定值.
(III)直线交椭圆于P,Q两不同点,P,Q在x轴的射影分别为,,
,若点S满足:
,
证明:
点S在椭圆上.
16.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)当时,直线的斜率分别为,两直线相互垂直
所以
即
可得
所以,所以
即…………………………4分
因为,,所以
所以只有
所以………………………………6分
(Ⅱ),
即…………………………9分
所以的面积为……………………12分
(Ⅱ)分数段内共名毕业生,设其中男生名,女生为名
设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件,则
则
解得或(舍去)
即名毕业生中有男生人,女生人…………………8分
(Ⅲ)表示名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数,
所以的取值可以为
当时,
所以的分布列为
所以随机变量数学期望为………………………12分
18.(本小题满分12分)
(Ⅰ)连结
所以
为中点,所以,
因为,
所以与为全等三角形
所以在中,,即………………3分
又因为平面,平面
所以……………………………4分
而
所以平面………………………5分
因为平面
所以平面平面……………………6分
(Ⅱ)以为原点,分别以所在直线
为轴,建立空间直角坐标系如图
二面角即二面角
平面,平面的法向量可设为
……………7分
设平面的法向量为
所以,而
即:
可求得………………………………10分
所以两平面与平面所成的角的余弦值
为………………………………12分
设等比数列的公比为,所以
恰为与的等比中项,,所以
解得………………………7分
所以……………………8分
(Ⅱ)时,
而时,………………………10分
……………………………12分
说明:
本问也可用数学归纳法做.
20.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)在处的切线为
所以,即
又在处,所以
所以,可得
所以……………………………3分
(Ⅱ)时,定义域为
极小值
可以看出,当时,函数有极小值………………………………8分
(Ⅲ)因为,
假设存在实数,使有最小值,
…………………9分
①当时,,所以
在上单调递减,(舍去)……………10分
②当时,
(i)当时,,在上恒成立
所以在上单调递减,(舍去)……11分
(ii)当时,,当时,所以在上递减
当时,在上递增
所以,…………12分
所以满足条件,综上,存在使时有最小值……………13分
所以(*)……………………5分
由得:
得:
……………………………………7分
将(*)代入上式,得…………………9分
(Ⅲ)设
所以,则
由得
(1)…………………………………11分
(2)(3)
(1)+
(2)+(3)得:
即满足椭圆的方程
命题得证………………………………………………………14分