高中数学第三章概率23互斥事件教学案北师大版必修3Word文档格式.docx

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在一次随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，那么有P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．

（4）公式的推广：

如果随机事件A1，A2，…，An中任意两个是互斥事件，那么有P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．

[点睛]　

（1）如果事件A与B是互斥事件，那么A与B两事件同时发生的概率为0.

（2）

从集合的角度看，记事件A所含结果组成的集合为集合A，事件B所含结果组成的集合为集合B，事件A与事件B互斥，则集合A与集合B的交集是空集，如图所示．

2．对立事件

在一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作对立事件，事件A的对立事件记为.

（2）性质：

P（A）＋P（）＝1，即P（A）＝1－P（）．

[点睛]　两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件；

两个事件为互斥事件，它们未必是对立事件．

1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）对立事件一定是互斥事件．（　　）

（2）A，B为两个事件，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．（　　）

（3）若事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1.（　　）

（4）事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1，则A，B是对立事件．（　　）

答案：

（1）√　

（2）×

　（3）×

　（4）×

2．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）

A．至多有一次中靶　　　　B．两次都中靶

C．两次都不中靶D．只有一次中靶

解析：

选C　连续射击两次的结果有四种：

①两次都中靶；

②两次都不中靶；

③第一次中靶，第二次没有中靶；

④第一次没有中靶，第二次中靶．“至少有一次中靶”包含①③④三种结果，因此互斥事件是②.

3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为（　　）

A．至多有2件次品　　　　　B．至多有1件次品

C．至多有2件正品D．至少有2件正品

选B　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．

4．甲乙两人下围棋比赛，已知比赛中甲获胜的概率为0.45，两人平局的概率为0.1，则甲输的概率为________．

记事件A＝“甲胜乙”，B＝“甲、乙战平”，C＝“甲不输”，则C＝A＋B，而A，B是互斥事件，故P（C）＝P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.55.由于甲输与不输为对立事件，故甲输的概率为：

1－P（C）＝1－0.55＝0.45.

0.45

互斥事件和对立事件的判断

[典例]　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．

（1）A与C；

（2）B与E；

（3）B与D；

（4）B与C；

（5）C与E.

[解]　

（1）由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．

（3）事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．

（4）事件B“至少订一种报”中有3种可能：

“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有3种可能：

“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

（5）由（4）的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．

判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；

判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：

一是不能同时发生；

二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．　　　　　　

[活学活用]

某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．

（1）恰有1名男生与恰有2名男生；

（2）至少1名男生与全是男生；

（3）至少1名男生与全是女生；

（4）至少1名男生与至少1名女生．

解：

从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果；

两男或两女或一男一女．

（1）因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；

当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．

（2）当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．

（3）因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；

由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

（4）当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件.

互斥事件与对立事件概率公式的应用

[典例]　某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）至少射中7环的概率；

（3）射中8环以下的概率．

[解]　“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”是彼此互斥的，可运用互斥事件的概率加法公式求解．

记“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则

（1）P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.

（2）法一：

P（A＋B＋C＋D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7环的概率为0.87.

法二：

事件“至少射中7环”的对立事件是“射中7环以下”，其概率为0.13，则至少射中7环的概率为1－0.13＝0.87.

（3）P（D＋E）＝P（D）＋P（E）＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中8环以下的概率为0.29.

运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤

（1）确定各事件彼此互斥；

（2）求各事件分别发生的概率，再求其和．

值得注意的是：

（1）是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．　　　　　　

在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分（包括80分与89分，下同）的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：

（1）小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；

（2）小明考试及格．

分别记小明的成绩在“90分及90分以上”，在“80～89分”，在“70～79分”，在“60～69分”为事件B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥．

（1）小明的成绩在80分及80分以上的概率是

P（B＋C）＝P（B）＋P（C）＝0.18＋0.51＝0.69.

小明考试及格的概率是

P（B＋C＋D＋E）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＋P（E）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.

因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.

互斥、对立事件与古典概型的综合应用

[典例]　一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：

（1）取出1球是红球或黑球的概率；

（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率．

[解]　记事件A1＝{任取1球为红球}；

A2＝{任取1球为黑球}；

A3＝{任取1球为白球}；

A4＝{任取1球为绿球}，则

P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，P（A4）＝.

根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，

法一：

由互斥事件概率公式，得

（1）取出1球为红球或黑球的概率为

P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）＝＋＝.

（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为

P（A1＋A2＋A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）

＝＋＋＝.

（1）故取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为

P（A1＋A2）＝1－P（A3＋A4）＝1－P（A3）－P（A4）

＝1－－＝＝.

（2）A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以

P（A1＋A2＋A3）＝1－P（A4）＝1－＝.

求复杂事件的概率通常有两种方法

（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；

（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．　

某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．现从中随机抽取一名队员，求：

（1）该队员只属于一支球队的概率；

（2）该队员最多属于两支球队的概率．

分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名．

则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.

（1）令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.

则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，

∴P（D）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）

（2）令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，

则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，

∴P（E）＝1－P（）＝1－＝.

[层级一　学业水平达标]

1．许洋说：

“本周我至少做完三套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为（　　）

A．至多做完三套练习题　　B．至多做完二套练习题

C．至多做完四套练习题D．至少做完三套练习题

选B　至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题．

2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（　　）

A．对立事件B．互斥但不对立事件

C．不可能事件D．以上说法都不对

选B　因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；

但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．

3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（　　）

A.B.