实数知识点题型归纳文档格式.docx
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如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。
数a的平方根记作（a>
=0）
特性：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。
负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。
开平方:
求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根：
如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。
数a的立方根用表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：
求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
四、实数的运算
有理数的加法法则：
a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
b）异号两数相加。
绝对值相等时和为0；
绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：
a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
零乘以任何数都得零．
b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正
c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0
4.有理数除法法则：
a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何非0实数都得0。
b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
5.有理数的乘方:
在an中，a叫底数，n叫指数
a）正数的任何次幂都是正数；
负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；
0的任何次幂都是0
b）a0=1（a不等于0）
6.有理数的运算顺序：
a）同级运算，先左后右
b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。
五·
实数大小比较的方法
1）数轴法：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数
2）比差法：
若a-b>
0则a>
b；
若a-b<
0则a<
若a-b=0则a=b
3）比商法：
A.两个数均为正数时，a/b>
1则a>
a/b<
1则a<
b
B.两个数均为负数时，a/b>
b
C.一正一负时，正数>
负数
4）平方法：
a、b均为正数时，若a2>
b2，则有a>
均为负数时相反
5）倒数法：
两个实数，倒数大的反而小（不论正负）
●题型归纳
●经典例题
类型一．有关概念的识别
1．下面几个数：
0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）
A、1 B、2 C、3 D、4
解析：
本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数
故选C
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的是（）
A、的平方根是±
3 B、1的立方根是±
1 C、=±
1 D、是5的平方根的相反数
【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，
∵=9，9的平方根是±
3，∴A正确．
∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）
A、1 B、1.4 C、 D、
【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．
【变式3】
【答案】∵π=3.1415…，∴9＜3π＜10
因此3π-9＞0，3π-10＜0
∴
类型二．计算类型题
2．设，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
（估算）因为，所以选B
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；
平方根是__________.2）-27立方根是__________.3）___________，___________，___________.
【答案】1）；
.2）-3.3），，
【变式2】求下列各式中的
（1）
（2） （3）
【答案】
（1）
（2）x=4或x=-2（3）x=-4
类型三．数形结合
3.点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______
在数轴上找到A、B两点，
【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
A．－1B．1－C．2－D．－2
【答案】选C
[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简
【答案】：
类型四．实数绝对值的应用
4．化简下列各式：
（1）|-1.4|
（2）|π-3.142|
（3）|-| （4）|x-|x-3||（x≤3）
（5）|x2+6x+10|
分析：
要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解：
（1）∵=1.414…＜1.4
∴|-1.4|=1.4-
（2）∵π=3.14159…＜3.142
∴|π-3.142|=3.142-π
（3）∵＜,∴|-|=-
（4）∵x≤3,∴x-3≤0,
∴|x-|x-3||=|x-（3-x）|
=|2x-3|=
说明：
这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对
这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。
（5）|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|（x+3）2+1|
∵（x+3）2≥0,∴（x+3）2+1＞0
∴|x2+6x+10|=x2+6x+10
【变式1】化简：
【答案】=+-=
类型五．实数非负性的应用
5．已知：
=0，求实数a,b的值。
已知等式左边分母
不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：
3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a,b的值。
由题意得
由
（2）得a2=49∴a=±
7
由（3）得a>
-7，∴a=-7不合题意舍去。
∴只取a=7
把a=7代入
（1）得b=3a=21
∴a=7,b=21为所求。
【变式1】已知（x-6）2++|y+2z|=0，求（x-y）3-z3的值。
∵（x-6）2++|y+2z|=0
且（x-6）2≥0,≥0,|y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴解这个方程组得
∴（x-y）3-z3=（6-2）3-（-1）3=64+1=65
【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
【答案】初中阶段的三个非负数：
，
a=2,b=-5,c=-1;
a+b-c=-2
类型六．实数应用题
6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
设新正方形边长为xcm，
根据题意得x2=112+13×
8
∴x2=225
∴x=±
15
∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，
∴只取x=15（cm）
答：
新的正方形边长应取15cm。
【变式1】拼一拼，画一画：
请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。
（4个长方形拼图时不重叠）
（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的边长.
（1）如图，中间小正方形的边长是：
，所以面积为=
大正方形的面积=，
一个长方形的面积=。
所以，
答：
中间的小正方形的面积，
发现的规律是：
（或）
（2）大正方形的边长：
，小正方形的边长：
，即，
又大正方形的面积比小正方形的面积多24cm2
所以有，
化简得：
将代入，得：
cm
答：
中间小正方形的边长2.5cm。
类型七．易错题
7．判断下列说法是否正确
（1）的算术平方根是-3；
（2）的平方根是±
15.
（3）当x=0或2时， （4）是分数
（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，
故的平方根是.
（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，
发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.
（4）错在对实数的概念理解不清.形如分数，但不是分数，它是无理数.
类型八．引申提高
8．
（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
（2）把下列无限循环小数化成分数：
①②③
（1）分析：
确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．
由得
的整数部分a=5,的小数部分，
∴
（2）解：
（1）设x=①
则②
②-①得
9x=6
∴.
（2）设①
②-①，得
99x=23
（3）设①
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