对偶问题在经济活动中的应用Word文档格式.docx

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对偶理论是线性规划最重要的内容之一，其应用范围十分广泛。

主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源做出最佳方式的太欧赔和最有利的使用，以便最从分得发挥资源的效能出过去最佳经济效益。

线性规划对偶单纯形法在实际应用中是一种非常有用的算法，线性规划问题是数学的一个重要分支,它们所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案是最优的,以及怎么找出这些最优方案.在现实的生产活动中这类问题普遍存在,例如在生产计划安排中,选择什么样的生产方案才能提高产值利润;

在原料配给问题中,怎样确定各种成分的比例,才能使提高质量降低成本的目标得以实现:

在城市建设规划中,怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、居民区以及其它单位的合理布局,才能方便群众,有利于城区各行各业的发展;

在资源的分配问题中,怎样分配有限的资源,使得分配方案既能满足于各方面的基本要求,又能获得好的经济效益。

通过对偶单纯形法能有效地解决最优化问题。

本文通过对对偶问题及对偶单纯形法的介绍，并对其结果中所体现的经济现象中的影子价格做相应的解释，以实例完成一整套方法的应用，展现该方法在经济活动实例分析中的应用价值。

二、国内外研究现状综述

在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每一个线性规划问题（称为原始问题）都有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。

1928年美籍匈牙利数学家J.von诺伊曼在研究对策论时已发现线性规划与对策论之间存在着密切的联系。

两人零和对策可表达成线性规划的原始问题和对偶问题。

他于1947年提出对偶理论。

1951年G.B.丹齐克引用对偶理论求解线性规划的运输问题，研究出确定检验数的位势法原理。

1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，成为管理决策中进行灵敏度分析的重要工具。

对偶理论有许多重要应用：

在原始的和对偶的两个线性规划中求解任何一个规划时，会自动地给出另一个规划的最优解；

当对偶问题比原始问题有较少约束时，求解对偶规划比求解原始规划要方便得多；

对偶规划中的变量就是影子价格。

三、设计（论文）方案

通过对偶理论以及社会生产生活中相关现象的探究，发现对偶单纯形法能有效的解决最优化问题，是生产生活更方便。

四、重点难点及创新之处

本文的重点在于对偶理论以及对偶理论在社会经济到横祸中的应用，并对其结果中所体现的经济现象中的影子价格做相应的解释，从而完成一整套的方法应用，体现对偶单纯形法在经济活动实例中的应用价值。

五、应收集资料及参考文献（不低于15篇）

［1］黄培青．运筹学：

管理中的定量方法［M］．上海:

上海交通大学出版社，2000．

［2］胡运权．运筹学基础及运用［M］．第四版.北京:

高等教育出版社，2004．

［3］程理民．运筹学模型与方法教程［M］．北京:

清华大学出版社，2003．

［4］刘满凤．运筹学模型与方法教程例题分析与题解［M］．北京：

清华大学出版社，2004．

［5］郭耀煌．运筹学原理与方法［M］．西安:

西南交通大学出版社，1998.

［6］刁在钧.运筹学.[M].第三版.北京:

高等教育出版社2007

［7］邓成梁.运筹学的原理和方法［M］.第二版.武汉：

华中科技大学出版社，2001.

［8］胡运权.运筹学教程［M］.北京：

清华大学出版社，1998.

［9］耿吉第.影子价格的经济含义及其应用［J］.数量经济技术研究，1994，（06）：

46-47.

［10］林丰岩.影子价格在企业管理中的应用［J］.价值工程，2006，（7）：

15-17.

［11］邓成梁.经济管理数学［M］.第二版.华中理工大学出版社，2003.

［12］徐光辉.运筹学与基础手册［M］.北京：

科学出版社，1993.

［13］陶树人.技术经济学［M］.北京：

经济管理出版社，1992.

［14］甘应爱.运筹学［M］.北京：

清华大学出版社，1990.

［15］J.富兰克林著，俞建，顾悦译.数理经济学方法［M］.贵州人民出版社，1985

［16］何建坤.实用线性规划及其计算机程序［M］.清华大学出版社，1985.

6、进度安排

（1）四月上旬完成相关资料的查阅立即准备工作。

（2）四月中旬通过推相关知识的理解，确定研究的课题以及完成开题报告。

（3）四月下旬到五月上旬完成论文初稿。

（4）之后对论文进行不断的修改。

七、指导教师意见

　　　　　指导教师签名：

　　　　年　月　日

八、专业负责人意见（或开题审查小组意见）

　　签名：

数学与应用数学专业

毕　业　论　文（设计）

题目对偶问题在经济活动中的应用

设计人　　　谌小洋　　　　　　　

教学基层组织名称　　　　　　　　

教学基层组织负责人　　　　　　　　

设计指导教师　　时凌　

评　阅　人　　　　　　　　　

2013年5月15日

摘要

线性规划对偶单纯形法在实际应用中是一种非常有用的算法，线性规划问题是数学的一个重要分支,它们所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案是最优的,以及怎么找出这些最优方案.在现实的生产活动中这类问题普遍存在.

关键词线性规划对偶单纯形法最优方案

Abstract

Dualsimplemethodforlinearprogrammingisaveryusefulmethodinthepracticalapplication.thelinearprogrammingisanimportantbranchofmathematics.thequestionisdiscussedinalargenumberofprojectswhatkindofprogramisoptimal.Andhowtofindtheoptimalsolution.Theseproblemsexistinpracticalproductionactivities.

Keywords:

methodforlineardualsimplemethodtheoptimalscheme

第一章对偶问题以及原理

1.1对偶问题

对偶问题　每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称为对偶问题。

原来的线性规划问题则称为原始线性规划问题，简称原始问题。

对偶问题有许多重要的特征，它的变量能提供关于原始问题最优解的许多重要资料，有助于原始问题的求解和分析。

对偶问题与原始问题之间存在着下列关系：

①目标函数对原始问题是极大化，而对偶问题则是极小化。

②原始问题目标函数中的收益系数是对偶问题约束不等式中的右端常数，而原始问题约束不等式中的右端常数则是对偶问题中目标函数的收益系数。

③原始问题和对偶问题的约束不等式的符号方向相反。

④原始问题约束不等式系数矩阵转置后即为对偶问题的约束不等式的系数矩阵。

⑤原始问题的约束方程数对应于对偶问题的变量数，而原始问题的变量数对应于对偶问题的约束方程数。

⑥对偶问题的对偶问题是原始问题，这一性质被称为原始和对偶问题的对称性。

1.2对偶模型

原始问题对偶问题

式中max表示求极大值,min表示求极小值,s.t.表示“约束条件为”；

为原始问题的目标函数，为对偶问题的目标函数；

为原始问题的决策变量列向量，为对偶问题的决策变量行向量;

为原始问题的系数矩阵,为原始问题的右端常数列向量，为原始问题的目标函数系数行向量。

1.3对偶问题的基本定理

弱对偶定理　若上述原始问题和对偶问题分别有可行解和

则。

这个定理表明极大化问题任一可行解的目标函数值总是不大于它的对偶问题的任一可行解的目标函数值。

　　强对偶定理　若上述原始问题和对偶问题都可行，则它们分别有最优解x*和y*，且。

　　最优准则定理　若上述原始问题和对偶问题分别有可行解和,且两者的目标函数值相等，即,则两个可行解分别为对应线性规划的最优解。

　　互补松弛定理　若上述原始问题和对偶问题分别有可行解和，且和分别为它们的松弛变量,则当且仅当时，和分别为它们的最优解。

　　松弛定理　若上述原始问题和对偶问题分别有可行解和且和分别为它们的松弛变量，则当且仅当和时,和分别为它们的最优解。

和这两个等式称为互补松弛条件。

　　对称对偶线性规划　具有对称形式的线性规划的特点是：

①全部约束条件均为不等式，对极大化问题为≤，对极小化问题为≥。

②全部变量均为非负。

列出对称对偶线性规划的步骤是：

①规定非负的对偶变量，变量数等于原始问题的约束方程数。

②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。

③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。

④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。

⑤把原始问题约束条件中的不等号反向作为对偶问题约束条件的不等号。

⑥将原始问题目标函数取极大化改成对偶问题目标函数取极小化。

非对称对偶线性规划　有时线性规划并不以对称方式出现，如约束条件并不都是同向不等式，变量可以是非正的或没有符号约束。

列写非对称对偶线性规划可参照原始-对偶表（见表）按下列步骤进行：

①规定对偶变量，变量个数等于原始问题约束不等式数。

⑤根据原始问题的约束不等式情况，确定对偶变量的符号约束。

⑥根据原始问题决策变量的符号约束，确定对偶问题约束不等式的符号方向。

对偶问题的最优解　从原始问题的最终单纯形表中（最优单纯形算子）可直接得到对偶问题的最优解。

原始问题中松弛变量的检验数对应着对偶问题的解（符号相反）。

在用单纯形法时每一步迭代可得到原始问题的可行解和对偶问题的补充解,且,若不是原始问题的最优解，就不是对偶问题的可行解。

最后一步迭代得到原始问题的最优解和对偶问题的补充最优解，且。

是原始问题的影子价格。

1.4对偶单纯行法解题步骤

单纯形法求解一般线性规划问题的基本方法，在应用对偶理论时，需要用到对偶单纯行法，就是将单纯行法应用于对偶问题的计算，基本思想是保持对偶问题为可行解（这时一般问题为非可行解）的基础上，通过迭代减小目标函数，当原问题也达到可行解时，即得到了目标函数的最优值，对偶单纯形法的解题步骤如下：

（1）建立初始单纯形表，设表中检验数行的值全部小于等于0，既是对偶问题的一个可行解；

（2）判断最优。

检查列的数字，若均为非负，则已得到最优解，停止计算。

若列有负分量则转（3）

（3）换基迭代。

确定换出变量。

在单纯形表基解列中从上到下选负量所对应的基变量出基。

确定换入变量。

在单纯形表中若所在的行各系数（j=1,2，…,n）即所有则无可行解，停止计算：