备战高考数学一轮热点难点一网打尽专题16 破解定积分的简单应用答案解析Word文档下载推荐.docx

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【注】

（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限趋近的常数（时）记为，而不是．

（2）用定义求定积分的一般方法是：

①分割：

等分区间；

②近似代替：

取点；

③求和：

；

④取极限：

4．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1（定积分的线性性质）；

性质2（定积分的线性性质）；

性质3（定积分对积分区间的可加性）

5．定积分的几何意义

（1）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形（如图中的阴影部分）的面积。

（2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形（如图中的阴影部分）的面积的相反数。

（3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积。

（4）图中阴影部分的面积S=

6、微积分基本定理

一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式。

为了方便，我们常把记成，即。

计算定积分的关键是找到满足的函数。

7、公式

（1）

（2）（3）

（4）（5）；

（6）

8、定积分的简单应用

（1）在几何中的运用：

计算图形的面积

方法：

画图→定域→分割面积→用定积分表示面积→计算

（2）在物理中的应用:

9、求定积分的方法

（1）数形结合利用面积求

（2）利用微积分基本原理求

应用举例:

类型一、定积的计算

【例1】【2017西四校联考】定积分|x2－2x|dx＝（　　）

A．5B．6C．7D．8

【答案】D

【例2】设函数f（x）＝ax2＋c（a≠0），若f（x）dx＝f（x0），0≤x0≤1，则x0的值为________．

【答案】

【解析】因为f（x）＝ax2＋c（a≠0），且′＝ax2＋c，所以f（x）dx＝（ax2＋c）dx＝＝＋c＝ax＋c，解得x0＝或x0＝－（舍去）．

【例3】

（2013·

江西高考）若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为（　　）

A．S1<

S2<

S3B．S2<

S1<

S3C．S2<

S3<

S1D．S3<

S1

【答案】B

【解析】S1＝x3＝－＝，S2＝lnx＝ln2<

lne＝1，S3＝ex＝e2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S2<

S3.

类型二、利用定积分求曲边梯形的面积

【例4】【2017湖南衡阳八中月考】曲线y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为（　　）

A．2ln2B．2－ln2

C．4－ln2D．4－2ln2

【例5】【2017河北衡中三模】由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形（图中的阴影部分）的面积是（　　）

A.

B.＋

C.

D.＋1

【答案】B

【解析】把阴影部分分成两部分求面积．S＝S1＋S2＝（2－x2）dx＋（2－x2－x）dx＝＋＝2－＋2－－＝＋.

点评：

利用定积分求平面图形面积的步骤

①根据题意画出图形．

②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．

③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．

④计算定积分，写出答案．

类型三、定积分网络几何概型

【例6】【2017贵州省贵阳市质检】设是一个正整数，的展开式中第四项的系数为，记函数与的图像所围成的阴影部分为，任取，则点恰好落在阴影区域内的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【例6】【2017山西省长治二中等四校高三联考】若任取x，y∈，则点P（x，y）满足y≤的概率为（　　）

A.B.C.D.

【解析】如图，∵满足题意的图形的面积S1＝xdx＝x＝，∴所求概率P＝＝.

与概率相交汇问题．解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.

类型四、定积分在物理学中的应用

【例7】【2017西藏林芝市高三月考】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7－3t＋（t的单位：

s，v的单位：

m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：

m）是（　　）

A．1＋25ln5　　　B．8＋25lnC．4＋25ln5D．4＋50ln2

【例8】一物体在力F（x）＝（单位：

N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4（单位：

m）处，则力F（x）做的功为_____焦．

【答案】36

【解析】由题意知，力F（x）所做的功为W＝F（x）dx＝5dx＋（3x＋4）dx＝5×

2＋

＝10＋＝36（焦）．

1．变速直线运动问题

如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v（t）（v（t）≥0），那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为v（t）dt；

如果做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是v＝v（t）（v（t）≤0），那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－v（t）dt.

2．变力做功问题

物体在变力F（x）的作用下，沿与力F（x）相同方向从x＝a到x＝b所做的功为F（x）dx.

方法、规律归纳:

1、用定义求定积分的方法：

分割、近似代替、求和、取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案例，体会定积分的基本思想方法．

2、用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足f′（x）＝f（x）的函数F（x），利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F（x）．

3、利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．

4、利用定积分求所围成平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限．

实战演练:

1．【2017河南洛阳统考】利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“0x2dx>

”发生的概率为（　　）

2．【2017山东淄博模拟】如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为（　　）

A.|x2－1|dx

B.

C.（x2－1）dx

D.（x2－1）dx＋（1－x2）dx

【答案】A

【解析】由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如右图所示的面积相等，即|x2－1|dx.

3．若的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y=nx与曲线y=x2围成的封闭区域面积为（）

A．B．12C．D．36

4．【2017山东济南市高三摸底考试】等比数列{an}中,a3=6,前三项和,则公比q的值为（）

A．1B．C．1或D．或

【解析】由题，而可解得

选C．

5．【2017江苏泰兴中学高三月考】如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y＝x2图像下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（　　）

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【解析】区域D的面积为16.由定积分的几何意义，D内函数y＝x2图像下方的点构成的区域面积为2＝2×

x3＝，所以，在D内随机取一点，则该点在E中的概率为，故选C.

6．展开式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线和圆轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）

7．【2017安徽省合肥市高三模拟考试】设函数f（x）＝（x－1）x（x＋1），则满足f′（x）dx＝0的实数a＝________.

【答案】1

【解析】f′（x）dx＝f（a）＝0，得a＝0或1或－1，又由积分性质知a>

0，故a＝1.

8．【2017株洲高三摸底考试】若函数f（x）在R上导，f（x）＝x3＋x2f′

（1），则f（x）dx＝__________.

【答案】－4

【解析】因为f（x）在R上可导，f（x）＝x3＋x2f′

（1），∴f′（x）＝3x2＋2xf′

（1），所以f′

（1）＝3＋2f′

（1），解得f′

（1）＝－3，所以f（x）＝x3－3x2，∴f（x）dx＝（x3－3x2）dx＝＝－4.

9．【2017山西省怀仁县第一中学高三月考已知函数的图象如图6，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为.

（1）求的解析式；

（2）若常数，求函数在区间上的最大值.

【答案】；

（2）见解析

【解析】

（1）由得，.由得，

∴，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为

，从而得，∴.

（2）由

（1）知.的取值变化情况如下：

2

单调

递增

极大值

递减

极小值

又,①当时,；

②当时,

综上可知：

当时,；

当时,

10．【2017江西省新余市第一中学高三开学考试】设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.

（1）求常数a、b的值；

（2）求曲线y＝f（x）与x轴所围成的图形的面积．

【答案】；