高中数学 第三章 概率章末综合学案新人教A版必修3Word文档格式.docx

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（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．

（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率．

（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．

（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小．

（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P（A）≤1.

　对一批U盘进行抽检，结果如下表：

抽出件数a

50

100

200

300

400

500

次品件数b

3

4

5

8

9

次品频率

（1）计算表中次品的频率；

（2）从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？

（3）为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？

【精彩点拨】　结合频率的定义进行计算填表，并用频率估计概率．

【规范解答】　

（1）表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.

（2）当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.

（3）设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x（1－0.02）≥2000，因为x是正整数，

所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．

[再练一题]

1．某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：

射击次数n

10

20

击中靶心

次数m

19

44

92

178

455

（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？

（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？

（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？

（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？

【解】　

（1）由题意，击中靶心的频率分别为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越大时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9.

（2）击中靶心的次数大约为300×

0.9＝270（次）．

（3）由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．

（4）不一定．

互斥事件与对立事件

1.对互斥事件与对立事件的概念的理解

（1）互斥事件是不可能同时发生的两个事件；

对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．

（2）利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是互斥的，此时A∪B的概率就可用加法公式来求，即为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；

如果事件A∩B≠∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．

（3）利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A∪B＝U，则两事件是对立的，此时A∪B就是必然事件，可由P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝1来求解P（A）或P（B）．

2．互斥事件概率的求法

（1）若A1，A2，…，An互斥，则P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．

（2）利用这一公式求概率的步骤：

①要确定这些事件彼此互斥；

②这些事件中有一个发生；

③先求出这些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：

①、②两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．

3．对立事件概率的求法

P（Ω）＝P（A∪

）＝P（A）＋P（

）＝1，由公式可得P（A）＝1－P（

）（这里

是A的对立事件，Ω为必然事件）．

4．互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解．

　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．

（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

【精彩点拨】　用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式．

【规范解答】　把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.

总的事件数为20.

“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：

（x1，p1），（x1，p2），（x2，p1），（x2，p2），（x3，p1），（x3，p2），共6种；

“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：

（p1，x1），（p1，x2），（p1，x3），（p2，x1），（p2，x2），（p2，x3），共6种；

“甲、乙都抽到选择题”的情况有：

（x1，x2），（x1，x3），（x2，x1），（x2，x3），（x3，x1），（x3，x2），共6种；

“甲、乙都抽到判断题”的情况有：

（p1，p2），（p2，p1），共2种．

（1）“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为

＝

，

“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为

故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为

＋

.

（2）“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为

，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－

2．某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；

响第2声时被接的概率是0.2；

响第3声时被接的概率是0.3；

响第4声时被接的概率是0.35.

（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？

（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？

【解】　

（1）设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N），那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.

（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为

.根据对立事件的概率公式，得P（

）＝1－P（A）＝1－0.95＝0.05.

古典概型与几何概型

古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P（A）＝

时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，求出n，m.但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．

几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即：

每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，由于其结果的无限性，概率就不能应用P（A）＝

求解，而需转化为几何度量（如长度、面积、体积等）的比值求解，体现了数形结合的数学思想．

　甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．

【精彩点拨】　甲、乙两艘货轮停靠泊位的时间是6小时，当两船到达泊位的时间差不超过6小时时，两船中一艘停靠，另一艘必须等待．

【规范解答】　设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x、y.

则

作出如图所示的区域．

本题中，区域D的面积S1＝242，区域d的面积S2＝242－182.

∴P＝

即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为

3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>

a的概率是（　　）

A.

　　　　　　　　B.

C.

D.

【解析】　∵当b＝1时，没有满足条件的a值；

当b＝2时，a＝1；

当b＝3时，a可以是1，可以是2，∴共3种情况．

而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a，再从{1,2,3}中随机取一个数b，共有3×

5＝15种不同取法，

∴概率为

【答案】　D

概率与统计的综合问题

统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．

　随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：

cm），获得身高数据的茎叶图如图31所示．

图31

（1）直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

（2）计算甲班的样本方差；

（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．

【精彩点拨】　

（1）根据“叶”上的数据的集中情况作出判断；

（2）代入方差的计算公式求解；

（3）列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解．

【规范解答】　

（1）由茎叶图可知：

甲班身高集中于160cm～179cm之间，而乙班身高集中于170cm～179cm之间．因此乙班平均身高高于甲班；

（2）

＝170（cm）．

甲班的样本方差s2＝

[（158－170）2＋（162－170）2＋（163－170）2＋（168－170）2＋（168－170）2＋（170－170）2＋（171－170）2＋（179－170）2＋（179－170）2＋（182－170）2]＝57.2（cm2）．

（3）设“身高为176cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学有：

（181,173），（181,176），（181,178），（181,179），（179,173），（179,176），（179,178），（178,173），（178,176），（176,173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：

（181,176），（179,176），（178,176），（176,173），

∴P（A）＝

4．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：

组数

分组

低碳族的人数

占本组的频率

第一组

[25,30）

120

0.6

第二组

[30,35）

195

p

第三组

[35,40）

0.5

第四组

[40,45）

a

0.4

第五组

[45,50）

30

0.3

第六组

[50,