小升初专题列方程解应用题Word文档格式.doc
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队伍有多长?
分析:
这是一道“追及又相遇”的问题,通讯员从末尾到排头是追及问题,他与排头所行路程差为队伍长;
通讯员从排头返回排尾是相遇问题,他与排尾所行路程和为队伍长。
如果设通讯员从末尾到排头用了x秒,那么通讯员从排头返回排尾用了(650-x)秒,于是不难列方程。
解:
设通讯员从末尾赶到排头用了x秒,依题意得
2.6x-1.4x=2.6(650-x)+1.4(650-x)。
解得x=500。
推知队伍长为
(2.6-1.4)×
500=600(米)。
队伍长为600米。
在设未知数时,有两种办法:
一种是设直接未知数,求什么、设什么;
另一种设间接未知数,当直接设未知数不易列出方程时,就设与要求相关的间接未知数。
对于较难的应用题,恰当选择未知数,往往可以使列方程变得容易些。
例3铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进,行人速度为3.6千米/时,骑车人速度为10.8千米/时,这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用22秒,通过骑车人用26秒,这列火车的车身总长是多少?
本题属于追及问题,行人的速度为3.6千米/时=1米/秒,骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。
火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差,也等于火车车尾与骑车人的路程差。
如果设火车的速度为x米/秒,那么火车的车身长度可表示为(x-1)×
22或(x-3)×
26,由此不难列出方程。
设这列火车的速度是x米/秒,依题意列方程,得
(x-1)×
22=(x-3)×
26。
解得x=14。
所以火车的车身长为
(14-1)×
22=286(米)。
这列火车的车身总长为286米。
例4如图,沿着边长为90米的正方形,按逆时针方向,甲从A出发,每分钟走65米,乙从B出发,每分钟走72米。
当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上?
这是环形追及问题,这类问题可以先看成“直线”追及问题,求出乙追上甲所需要的时间,再回到“环行”追及问题,根据乙在这段时间内所走路程,推算出乙应在正方形哪一条边上。
设追上甲时乙走了x分。
依题意,甲在乙前方
3×
90=270(米),
故有
72x=65x+270。
由于正方形边长为90米,共四条边,故由
可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。
当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。
例5一条船往返于甲、乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶,由乙至甲是逆水行驶。
已知船在静水中的速度为8千米/时,平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1。
某天恰逢暴雨,水流速度为原来的2倍,这条船往返共用9时。
甲、乙两港相距多少千米?
这是流水中的行程问题:
顺水速度=静水速度+水流速度,
逆水速度=静水速度-水流速度。
解答本题的关键是要先求出水流速度。
设甲、乙两港相距x千米,原来水流速度为a千米/时根据题意可知,逆水速度与顺水速度的比为2∶1,即
(8-a)∶(8+a)=1∶2,
再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时,则有
解得x=20。
甲、乙两港相距20千米。
例6某校组织150名师生到外地旅游,这些人5时才能出发,为了赶火车,6时55分必须到火车站。
他们仅有一辆可乘50人的客车,车速为36千米/时,学校离火车站21千米,显然全部路程都乘车,因需客车多次往返,故时间来不及,只能乘车与步行同时进行。
如果步行每小时能走4千米,那么应如何安排,才能使所有人都按时赶到火车站?
赶到火车站,每人步行时间应该相同,乘车时间也相同。
设每人步行x时,客车能否在115分钟完成。
把150人分三批,每批50人,步行速度为4千米/时,汽车速度为
解得x=1.5(时),即每人步行90分,乘车25分。
三批人5时同时出发,第一批人乘25分钟车到达A点,下车步行;
客车从A立即返回,在B点遇上步行的第二批人,乘25分钟车,第二批人下车步行,客车再立即返回,又在C点遇到步行而来的第三批人,然后把他们直接送到火车站。
如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的,第三批人是否正巧可乘25分钟车呢?
必须计算。
次返回的时间是20分,同样可计算客车第二次返回的时间也应是20分,所以当客车与第三批人相遇时,客车已用25×
2+20×
2=90(分),还有115-90=25(分),正好可把第三批人按时送到。
因此可以按上述方法安排。
列方程,解出需步行90分、乘车25分后,可以安排了,但验算不能省掉,因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。
通过计算知第三批人正巧可乘车25分,按时到达。
但如果人数增加,或者车速减慢,虽然方程可以类似地列出,却不能保证人员都按时到达目的地。
二、引入参数列方程解应用题
对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题,列方程时,除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求”的参数,便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言,以便沟通数量关系,为列方程创造条件。
例7某人在公路上行走,往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇,每隔6分就有一辆从背后超过此人。
如果人与汽车均为匀速运动,那么汽车站每隔几分发一班车?
此题看起来似乎不易找到相等关系,注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇,是相遇问题,人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离;
每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题,车与人6分所行的路程差恰是两车的距离,再引进速度这一未知常量作参数,问题就解决了。
设汽车站每隔x分发一班车,某人的速度是v1,汽车的速度为v2,依题意得
由①②,得
将③代入①,得
此题引入v1,v2两个未知量作参数,计算时这两个参数被消去,即问题的答案与参数的选择无关。
本题的解法很多,可参考本丛书《五年级数学活动课》第26讲。
例8整片牧场上的草长得一样密,一样地快。
已知70头牛在24天里把草吃完,而30头牛就得60天。
如果要在96天内把牧场的草吃完,那么有多少头牛?
本题中牧场原有草量是多少?
每天能生长草量多少?
每头牛一天吃草量多少?
若这三个量用参数a,b,c表示,再设所求牛的头数为x,则可列出三个方程。
若能消去a,b,c,便可解决问题。
设整片牧场的原有草量为a,每天生长的草量为b,每头牛一天吃草量为c,x头牛在96天内能把牧场上的草吃完,则有
②-①,得
36b=120C。
④
③-②,得
96xc=1800c+36b。
⑤
将④代入⑤,得
96xc=1800c+120c。
有20头牛。
例9从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路。
一辆汽车上坡时每小时行驶20千米,下坡时每小时行驶35千米。
车从甲地开往乙从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路?
从甲地到乙地的上坡路,就是从乙地到甲地的下坡路;
从甲地到乙地下坡路,就是从乙地到甲地的上坡路。
设从甲地到乙地的上坡路为x千米,下坡路为y千米,依题意得
①+②,得
将y=210-x代入①式,得
解得x=140。
甲、乙两地间的公路有210千米,从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
三、列不定方程解应用题
有些应用题,用代数方程求解,有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数,这种情况下的方程称为不定方程。
这时方程的解有多个,即解不是唯一确定的。
但注意到题目对解的要求,有时,只需要其中一些或个别解。
例10六
(1)班举行一次数学测验,采用5级计分制(5分最高,4分次之,以此类推)。
男生的平均成绩为4分,女生的平均成绩为3.25分,而全班的平均成绩为3.6分。
如果该班的人数多于30人,少于50人,那么有多少男生和多少女生参加了测验?
设该班有x个男生和y个女生,于是有
4x+3.25y=3.6(x+y),
化简后得8x=7y。
从而全班共有学生
在大于30小于50的自然数中,只有45可被15整除,所以
推知x=21,y=24。
该班有21个男生和24个女生。
例11小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分。
小明共套了10次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套10次共得61分。
小明至多套中小鸡几次?
设套中小鸡x次,套中小猴y次,则套中小狗(10-x-y)次。
根据得61分可列方程
9x+5y+2(10-x-y)=61,
化简后得7x=41-3y。
显然y越小,x越大。
将y=1代入得7x=38,无整数解;
若y=2,7x=35,解得x=5。
小明至多套中小鸡5次。
例12某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组,甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子;
乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子;
丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子;
丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。
现在上衣和裤子要配套缝制(每套为一件上衣和一条裤子)。
7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服?
不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产,应该考虑各组生产上衣、裤子的效率高低,在配套下安排生产。
我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣,做裤子效率高的多做裤子,才能使所做衣服套数最多。
一般情况,设A组每天能缝制a1件上衣或b1条裤子,它们的比为A组尽量多做上衣、B组尽量多做裤子的情况下,安排配套生产。
这
的效率高,故这7天全安排这两组生产单一产品。
设甲组生产上衣x天,生产裤子(7-x)天,乙组生产上衣y天,生产裤子(7-y)天,则4个组分别共生产上衣、裤子各为6×
7+8x+9y(件)和11×
7+10(7-x)+12(7-y)(条)。
依题意,得
42+8x+9y=77+70-10x+84-12y,
令u=42+8x+9y,则
显然x越大,u越大。
故当x=7时,u取最大值125,此时y的值为3。
安排甲、丁组7天都生产上衣,丙组7天全做裤子,乙组3天做上衣,4天做裤子,这样生产的套数最多,共计125套。
本题仍为两个未知数,一个方程,不能有确定解。
本题求套数最多,实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值,注意说明取得最值的理由。