高考数学专题突破练6圆锥曲线定点定值最值范围探索性问题试题理Word文档格式.docx

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答案　A

解析　设直线l的方程为x＝my＋b，联立直线和抛物线的方程得整理得y2－2my－2b＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得y1y2＝－2b，y1＋y2＝2m，故x1x2＝（my1＋b）·

（my2＋b）＝m2y1y2＋mb（y1＋y2）＋b2＝－2bm2＋2bm2＋b2＝b2.因为k1k2＝＝＝，解得b＝－3，故l的横截距为定值－3，即l一定过点（－3,0）．

4．[2016·

贵州遵义联考]设P，Q分别为圆x2＋（y－6）2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，即P，Q两点间的最大距离是（　　）

A．5B.＋C．6D．7＋

解析　解法一：

设Q（x，y），－1≤y≤1.

因为圆x2＋（y－6）2＝2的圆心为T（0,6），半径r＝，

则|QT|＝＝＝≤5，当y＝－时取等号，所以|PQ|max＝5＋＝6.故选C.

解法二：

设Q（cosθ，sinθ），圆心为M，由已知得M（0,6），

则|MQ|＝

＝

≤5

，

故|PQ|max＝5＋＝6.

5．[2016·

贵阳摸底]已知椭圆C：

＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

答案　B

设P（x，y），直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，易知A1（－2,0），A2（2,0），则有k1k2＝·

＝＝＝－，因为－2≤k2≤－1，所以k1>

0且－2≤－≤－1，即1≤≤2，解得≤k1≤.故选B.

设直线PA2的斜率为k2，令k2＝－1，则直线PA2的方程为y＝－（x－2），代入椭圆方程并整理得7x2－16x＋4＝0，解得x1＝2，x2＝，从而可得点P的坐标为，于是直线PA1的斜率k1＝＝.同理，令k2＝－2，可得k1＝.结合选项知，选项B正确．

6．[2016·

山西运城调研]已知A，B为抛物线y2＝2px（p>

0）上的两动点，F为其焦点，且满足∠AFB＝60°

，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线，垂足为N，|MN|＝λ|AB|，则λ的最大值为（　　）

A．1B.C.D．2

解析　过点A，B作准线的垂线，垂足分别为D，C，因为M为线段AB的中点，BC∥AD，所以|MN|＝（|BC|＋|AD|），又因为|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，所以|MN|＝（|BF|＋|AF|），又|MN|＝λ|AB|，所以2λ|AB|＝|AF|＋|BF|，两边平方得4λ2|AB|2＝|AF|2＋|BF|2＋2|AF||BF|，即4λ2＝.在△ABF中，由余弦定理得|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·

cos60°

，即|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－|AF||BF|，所以4λ2＝，由|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－|AF||BF|≥2|AF||BF|－|AF||BF|＝|AF||BF|，故|AB|2≥|AF||BF|，所以4λ2＝≤＝4，因为λ>

0，所以0<

λ≤1，故λ的最大值为1.故选A.

二、填空题

7．已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1,0），点P在双曲线的右支上，点M（m,0）到直线AP的距离为1，若AP的斜率为k且|k|∈，则实数m的取值范围是________．

答案　∪

解析　直线AP的方程为y＝k（x－1），k≠0，即kx－y－k＝0，由＝1，得|m－1|＝.∵|k|∈，

∴≤|m－1|≤2，

解得m∈∪.

8．过抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作与直线x＋2＝0相切的圆，这些圆必过一定点，则定点的坐标是________．

答案　（2,0）

解析　抛物线的焦点为F（2,0），准线l的方程为x＝－2，即x＋2＝0，又抛物线上任意一点到F与到准线l的距离相等，所以这些圆一定过焦点F（2,0）．

9．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·

的最大值为________．

答案　6

解析　由题意，得F（－1,0），设点P（x0，y0），则有＋＝1，解得y＝3.因为＝（x0＋1，y0），＝（x0，y0），所以·

＝x0（x0＋1）＋y＝x0（x0＋1）＋3＝＋x0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·

取得最大值＋2＋3＝6.

三、解答题

10．[2017·

安徽联考]已知抛物线C：

y2＝2px经过点M（2,2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．

（1）求线段ON的长；

（2）设不经过点M和N的动直线l2：

x＝my＋b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA，ME，MB的斜率依次成等差数列，试问：

l2是否过定点？

请说明理由．

解　

（1）由抛物线C：

y2＝2px经过点M（2,2），得22＝4p，故p＝1，抛物线C的方程为y2＝2x.

C在第一象限的图象对应的函数解析式为y＝，则y′＝，

故C在点M处的切线斜率为，切线的方程为y－2＝（x－2）．

令y＝0，得x＝－2，所以点N的坐标为（－2,0），故线段ON的长为2.

（2）l2恒过定点（2,0），理由如下：

由题意可知直线l1的方程为x＝－2.

因为l2与l1相交，所以m≠0.

由l2：

x＝my＋b，令x＝－2，得y＝－，

故E.

设A（x1，y1），B（x2，y2）．由消去x，

得y2－2my－2b＝0，则y1＋y2＝2m，y1·

y2＝－2b.

直线MA的斜率为＝＝，

同理，直线MB的斜率为，

直线ME的斜率为.

因为直线MA，ME，MB的斜率依次成等差数列，

所以＋＝2×

＝1＋，

即＝1＋＝1＋，

整理得＝.

因为l2不经过点N，所以b≠－2，所以2m－b＋2＝2m，即b＝2，

故l2的方程为x＝my＋2，即l2恒过定点（2,0）．

11．[2016·

东北育才模拟]已知椭圆E：

＋＝1（a>

b>

0），其离心率e＝，过椭圆E内一点P（1,1）的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且满足＝λ，＝λ，其中λ为实数．当点C恰为椭圆的右顶点时，对应的λ＝.

（1）求椭圆E的方程；

（2）当λ变化时，kAB是否为定值？

若是，请求出此定值；

若不是，请说明理由．

解　

（1）因为椭圆E：

0）的离心率e＝，即a2＝c2，所以b2＝a2.

因为C（a,0），λ＝成立，所以由＝λ，

得A，

将其代入椭圆方程中，得＋＝1，解得a＝2，所以a＝2，b＝，

所求椭圆E的方程为＋＝1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由＝λ，得同理

将A，B的坐标代入椭圆方程得两式相减得，3（x1＋x2）（x1－x2）＋4（y1＋y2）（y1－y2）＝0，

即3（x1＋x2）＋4（y1＋y2）kAB＝0.

同理，3（x3＋x4）＋4（y3＋y4）kCD＝0.

因为＝λ，＝λ，所以AB∥CD，所以kAB＝kCD，所以3（x3＋x4）＋4（y3＋y4）kAB＝0，

所以3λ（x3＋x4）＋4λ（y3＋y4）kAB＝0，

所以3（x1＋λx3＋x2＋λx4）＋4（y1＋λy3＋y2＋λy4）kAB＝0，即6（1＋λ）＋8（1＋λ）kAB＝0，所以kAB＝－为定值．

12．[2016·

贵阳检测]已知抛物线C：

y2＝2px（p>

0），O为坐标原点，F为抛物线的焦点，已知点N（2，m）为抛物线C上一点，且|NF|＝4.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交y轴于点M，且＝a，＝b，a，b∈R，对任意的直线l，a＋b是否为定值？

若是，求出a＋b的值；

否则，说明理由．

解　

（1）因为|NF|＝4，由抛物线的定义知xN＋＝4，

即2＋＝4，所以p＝4，

所以抛物线C的方程为y2＝8x.

（2）显然直线l的斜率存在且一定不等于零，设其方程为x＝ty＋2（t≠0），则直线l与y轴交点为M.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由消去x得y2－8ty－16＝0，

所以Δ＝（－8t）2－（－64）＝64（t2＋1）>

0，y1＋y2＝8t，y1y2＝－16.

由＝a，得＝a（2－x1，－y1），

所以a＝＝－＝－1－，

同理可得b＝－1－，

a＋b＝＋

＝－2－＝－2＋＝－1.

所以a＋b为定值－1.

13．[2017·

广东四校联考]在空间中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°

，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ.在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．

（1）求双曲线Γ的方程；

（2）在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M，N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值．

解　

（1）如图，设O′为双曲线的中心，则轴l与平面α的距离为|OO′|＝2，A为双曲线的一个顶点，∠AOO′＝60°

，所以|O′A|＝2.

在轴l上取点C，使得|OC|＝4，过C作与轴l垂直的平面，交圆锥面得到圆C，圆C与双曲线相交于D，E两点．

设DE的中点为B，易知|CB|＝2，|CD|＝4，

可得|BD|＝2，从而可知双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4）．

设双曲线的标准方程为－＝1，

将点（2，4）代入方程得b2＝4，

所以双曲线的标准方程为－＝1.

（2）证明：

在条件

（1）下，显然双曲线Γ的两切线PM，PN都不垂直x轴．

设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线的斜率为k，则切线方程为y＝k（x－x0）＋y0，

由消去y，

得（k2－3）x2－2k（kx0－y0）x＋（kx0－y0）2－12＝0，

由Δ＝0，化简得（x＋4）k2－2x0y0k＋（y－12）＝0.

令PM，PN的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝，

由点P（x0，y0）在圆Γ′上，得x＋y＝8，得＝－1，∴k1k2＝－1.

所以PM⊥PN，线段MN是圆Γ′的直径，为定值，|MN|＝4.

14.[2016·

重庆统考]如图，F是椭圆＋＝1（a>

0）的右焦点，O是坐标原点，|OF|＝，过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0两点，△OP0Q0的面积为.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若直线l与上、下半椭圆分别交于点P，Q，与x轴交于点M，且|PM|＝2|MQ|，求△OPQ的面积取得最大值时直线l的方程．

解　

（1）由已知条件，|P0F|＝＝＝，

易知|P0F|＝，从而＝.

又c