立体几何解答题精选Word文档格式.docx

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（2）若平面，，，

，求平面与平面所成的角（锐角）的大小.

4.（2015浙江理17）如图所示，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.

平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

5.（2015重庆理19）如图所示，在三棱锥中，平面,，.，分别为线段，上的点，且，.

平面；

（2）求二面角的余弦值.

6.（2016北京理17）如图所示，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在点，使得平面?

若存在，求的值；

若不存在，说明理由.

7.（2017全国3卷理科19）如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．

平面平面；

（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．

8.（2017天津理17）如图所示，在三棱锥中，底面，.点分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.

（2）求二面角的正弦值；

（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.

答案

29.（2014天津理17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.

（3）若为棱上一点，满足，

求二面角的余弦值.

31.（2014浙江理20）（本题满分15分）

如图，在四棱锥中，平面平面，，

.

（2）证明：

（3）求二面角的大小.

38.（2015山东理17）如图所示，三棱台中，，分别为

的中点.

38.解析

（1）证法一：

连接，，设，连接．

在三棱台中，，为的中点，

可得，，

所以四边形为平行四边形，

则为的中点．

又为的中点，所以．

又平面，平面，

所以平面．

证法二：

在三棱台中，由，为的中点，

可得，，所以四边形为平行四边形，可得．

在中，为的中点，为的中点，所以．又，

所以平面平面．因为平面，所以平面．

（2）解法一：

设，则．在三棱台中，为的中点，

由，可得四边形为平行四边形，因此．

又平面，所以平面．

在中，由，，是中点，

所以，，因此，，两两垂直．

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，，，，

故，．

设是平面的一个法向量，

则由，可得，

解得平面的一个法向量．

因为是平面的一个法向量，

，所以．

所以平面与平面所成（锐角）的大小为．

解法二：

作于点，作于点，连接．

由平面，得．

又，所以平面，

因此，所以即为所求的角．

在中，，，

由，可得，

从而．由平面，平面，

得，因此，所以，

40.（2015浙江理17）如图所示，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.

40.解析

（1）设的中点为，连接，则平面，所以.

又，所以．又,所以.而

所以.又，所以平面．

作，垂足为，连接，如图

（1）所示

则，．.

所以，所以.

由，得，因此即为二面角的平面角．

又，所以，所以.

在中，由余弦定理得，．

解法二（向量法）：

以的中点为原点，分别以射线为轴的正半轴，

建立空间直角坐标系，如图

（2）所示．由题意知各点坐标如下：

，，，．

因此，，．

设平面的法向量为，平面的法向量为．

由即，可取．

于是．由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，

故二面角的平面角的余弦值为．

图

（1）图

（2）

41.（2015重庆理19）如图所示，在三棱锥中，平面,，

.，分别为线段，上的点，且，.

41.解析

（1）证明：

因为平面，平面，所以.

由得为等腰直角三角形，故．

又，且平面，故平面．

（2）由

（1）知，为等腰直角三角形，，如图所示，

过点作垂直于，易知，

又，故．由，得，，

故．以点为坐标原点，

分别以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系

，，，，

，，.

设平面的法向量为，

则，，

即，令，

则，故可取．

由

（1）可知平面，

故平面的法向量可取为，即.

则，又二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为．

49.（2016北京理17）如图所示，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.

若存在，求的值；

49.解析

（1）如题中的图所示，平面平面，平面平面，平面，得平面，所以.

又因为平面，平面，，

所以平面.

（2）如图所示，设棱AD的中点是O，由题设可得直线两两互相垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系.

可得，

所以，.

设平面的一个法向量是，得，所以可得.

设直线与平面所成角的大小为，

即直线与平面所成角的正弦值是.

（3）设棱上存在点，使得平面，并设，得，

即，即.得.

由平面，平面的一个法向量是，

得，解得.又平面，所以平面.即在棱上存在点使得平面，且.

58.（2017全国3卷理科19）如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，

，．

58．解析如图所示，取的中点为，联结，.

因为为等边三角形，所以，.

由，得，所以，即为等腰直角三角形，

从而为直角.又为底边中点，所以.

令，则，易得，，

所以，从而由勾股定理的逆定理可得，即.

由，所以平面.

又因为平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面.

由题意可知，即，到平面的距离相等，即点为的中点.

以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，设，建立空间直角坐标系，则，，，，，

易得，，.

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则，取；

，取.

设二面角为，易知为锐角，则.

11.（2017天津理17）如图所示，在三棱锥中，底面，.点分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.

11.解析如图所示，以为坐标原点，为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得，，，，，，，．

，.设为平面的一个法向量，

则，即，不妨设，可得.

又，可得，因为平面，所以平面．

（2）易知为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，因为，，所以.

不妨设，可得.

因此有，于是.

所以二面角的正弦值为.

（3）依题意，设，则H（0，0，h），进而可得，.由已知得，整理得，

解得或.所以线段AH的长为或.