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1、（2）若平面，求平面与平面所成的角（锐角）的大小.4.（2015浙江理17）如图所示，在三棱柱中，在底面的射影为的中点，为的中点. 平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.5.（2015重庆理19）如图所示，在三棱锥中，平面,，.，分别为线段，上的点，且，.平面；（2）求二面角的余弦值.6.（2016北京理17）如图所示，在四棱锥中，平面平面， ，. （2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由.7.（2017全国3卷理科19）如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分

2、，求二面角的余弦值8.（2017天津理17）如图所示，在三棱锥中，底面，.点分别为棱，的中点，是线段的中点，.（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.答案29.（2014 天津理 17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.31.（2014 浙江理 20）（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面， ，.（2）证明：（3）求二面角的大小.38.（2015山东理17）如图所示，三棱台中，分别为的中点.38. 解析 （1）证法一：连接，设，连接在三棱台中，为的中点，可得，所以四边形为平行

3、四边形，则为的中点又为的中点，所以又平面，平面，所以平面证法二：在三棱台中，由，为的中点，可得，所以四边形为平行四边形，可得在中，为的中点，为的中点，所以又，所以平面平面因为平面，所以平面（2）解法一：设，则在三棱台中，为的中点，由，可得四边形为平行四边形，因此又平面，所以平面在中，由，是中点，所以，因此，两两垂直以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，故，设是平面的一个法向量，则由，可得，解得平面的一个法向量因为是平面的一个法向量，所以所以平面与平面所成（锐角）的大小为解法二：作于点，作于点，连接由平面，得又，所以平面，因此，所以即为所求的角在中，由，可得，从而由平面，平面，得，因

4、此，所以，40.（2015浙江理17）如图所示，在三棱柱中，在底面的射影为的中点，为的中点.40. 解析 （1）设的中点为，连接，则平面，所以.又，所以又,所以.而 所以. 又，所以平面作，垂足为，连接，如图（1）所示则，.所以，所以.由，得，因此即为二面角的平面角又，所以，所以.在中，由余弦定理得，解法二（向量法）：以的中点为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示由题意知各点坐标如下：，因此，设平面的法向量为，平面的法向量为由即，可取于是由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角的平面角的余弦值为 图（1） 图（2）41.（2015重庆理19）如图所示，在三棱锥

5、中，平面,，.，分别为线段，上的点，且，.41. 解析 （1） 证明：因为平面，平面，所以.由得为等腰直角三角形，故又，且平面，故平面（2）由（1）知，为等腰直角三角形，如图所示，过点作垂直于，易知，又，故由，得，故以点为坐标原点，分别以，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，.设平面的法向量为，则，即，令，则，故可取由（1）可知平面，故平面的法向量可取为，即.则，又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为49.（2016北京理17）如图所示，在四棱锥中，平面平面， ，.若存在，求 的值；49.解析 （1）如题中的图所示，平面平面，平面平面，平面，得平面，所以.又因为平面，平面，所以

6、平面.（2）如图所示，设棱AD的中点是O，由题设可得直线两两互相垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系.可得，所以，.设平面的一个法向量是，得，所以可得.设直线与平面所成角的大小为，即直线与平面所成角的正弦值是.（3）设棱上存在点，使得平面，并设，得，即，即.得.由平面，平面的一个法向量是，得，解得.又平面，所以平面.即在棱上存在点使得平面，且.58.（2017全国3卷理科19）如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，58解析如图所示，取的中点为，联结，.因为为等边三角形，所以，.由，得，所以，即为等腰直角三角形，从而为直角.又为底边中点，所以.令，则，易得，所以，从而由勾股定理的逆定

7、理可得，即.由，所以平面.又因为平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面.由题意可知，即，到平面的距离相等，即点为的中点.以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，设，建立空间直角坐标系，则，易得，.设平面的法向量为，平面的法向量为，则，取；，取.设二面角为，易知为锐角，则.11.（2017天津理17）如图所示，在三棱锥中，底面，.点分别为棱，的中点，是线段的中点，.11.解析 如图所示，以为坐标原点，为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得，.设为平面的一个法向量，则，即，不妨设，可得.又，可得，因为平面，所以平面（2）易知为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，因为，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以二面角的正弦值为.（3）依题意，设，则H（0，0，h），进而可得，.由已知得，整理得，解得或.所以线段AH的长为或.