高中数学快速提升成绩题型训练轨迹问题Word格式文档下载.docx
《高中数学快速提升成绩题型训练轨迹问题Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学快速提升成绩题型训练轨迹问题Word格式文档下载.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（2）当梯形PABQ周长最大时，求椭圆C的方程．
8.已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，其中F1又是抛物线y2=4x的一个焦点，且点A（-1,2），B（3,2）在双曲线上．
（1）求点F2的轨迹;
（2）是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．
9.已知常数a>
0，c=（0,a），i=（1,0），经过原点O，以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0,a），以i-2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R，试问：
是否存在两个定点E,F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出E,F的坐标，若不存在，说明理由．
10.如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．
求边所在直线的方程；
求矩形外接圆的方程；
若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
11.如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.
12.已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：
在点T的轨迹C上，是否存在点M，
使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2
的正切值；
若不存在，请说明理由.
13.过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点.求△AOB的重心G的轨迹C的方程.
14.已知圆和点，动点到圆的切线长与的比等于常数，求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
15.如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
16.已知椭圆C：
和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程。
17.已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN的一个端点在上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积。
18.（经典问题，值得一做，很能训练学生的思维能力）
三峡工程需修建一个土石基坑，基坑成矩形，按规定，挖出的土方必须沿道路或送到点处。
已知，能否在池中确定一条界线，使得位于界线一侧的点沿道路送土方较近，而另一侧的点沿道路送土方较近？
如果能，请说明这条界线是什么曲线，并求出轨迹方程。
19.设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线
20.某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？
答案：
1.如图1，设点P在平面内的射影是O，则OP是、的公垂线，OP=4。
在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O为圆心，3为半径的圆上。
又在内到直线的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点。
因此所求点的轨迹是四个点，故选C。
2.因为面PAB，面PAB，所以AD//BC，且。
又，
可得，
即得
在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（-3，0）、B（3，0）。
设点P（x,y），则有
，
整理得
由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B。
3.因为，且PC在内的射影为BC，所以，即。
所以点C的轨迹是以AB为直径的圆且去掉A、B两点，故选B。
4.因为P到的距离即为P到的距离，所以在面内，P到定点的距离与P到定直线BC的距离相等。
由圆锥曲线的定义知动点P的轨迹为抛物线，故选D。
5.以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系。
设P（x,y），作于E、于F，连结EF，易知
又作于N，则。
依题意，
即，
化简得
故动点P的轨迹为双曲线，选B。
6.如图，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面上，直线、为平面内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，于，于，则，且P也为的中点。
由已知MN=2，AB=4，易知得。
则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P的轨迹。
现以的角平分线为x轴，O为原点建立如图所示的平面直角坐标系。
设，，
则
消去m、n，得线段AB的中点P的轨迹为椭圆，其方程为。
7.解
（1）设椭圆C：
b2（x-1）2+a2y2=a2b2（a>
b>
0），由题意知2c=2,故c=1,
如图9-9，从而可得右准线的方程x=a2+1,……………………………………………………………①
设M（x,y），P（x0,y0），连PB，则有|PA|2+|PB|2=|AB|2,
∴（|PA|+|PB|）2-2|PA|·
|PB|=4，由此可得（2a）2-2·
2|yP|=4，即yP=±
（a2-1），………………②
于是，由①②得y=±
（x-2）．
又∵点P（x0,y0）是圆E上的点，且不与AB重合，
∴0<
|y0|<
1，故有0<
a2-1<
1,即1<
a2<
2……………………………………………………………③
由①③得2<
x<
3，∴点M的轨迹是两条线段，其方程为y=±
（x-2）（2<
3）．
（2）设∠ABQ=θ，∵点Q在P点左侧，∴θ∈（45o,90o），
又|AB|=2,于是，由图9-9可得|PA|=|BQ|=2cosθ,|PQ|=|AB|-2|BQ|cosθ=2-4cos2θ,
∴周长L=（2-4cos2θ）+4cosθ+2．
当时，周长L取最大值5．
此时|BQ|=1,|AQ|=，2a=|BQ|+|AQ|=1+,
∴,，
图9-9
故所求椭圆的方程为．
8.解
（1）由题意知F1（1,0），设F2（x,y），则||AF1|-|AF2||=||BF1|-|BF2||=2a>
0．……………………………①
∵A（-1,2），B（3,2）在已知双曲线上，且|AF1|=|BF1|=．于是
（ⅰ）当|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|时，有|AF2|=|BF2|,再代入①得：
F2的轨迹为直线x=1除去两个点F1（1,0）,D（1,4）．
（ⅱ）∵当|AF1|-|AF2|=-（|BF1|-|BF2|）时，有|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|=>
4=|AB|,
∴点F2的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆Q，且除去F1（1,0），D（1,4）两点，
故所求的轨迹方程为l：
x=1与Q：
（y≠0，y≠4）．
（2）设存在直线L：
y=x+m满足条件．（ⅰ）若L过点F1或点D，
∵F1、D两点既在直线l：
x=1上，又在椭圆Q上，但不在F2的轨迹上，
∴L与F2的轨迹只有一个公共点，不合题意．
（ⅱ））若L不过点F1和D两点，（m≠-1,m≠3），则L与l必有一个公共点E，且E点不在椭圆Q上，
∴要使L与F2的轨迹有且只有两个公共点，则L必与Q有且只有一个公共点．
由得3x2-（10-4m）x+2m2-8m+1=0,
从而，有△=（10-4m）2-12（2m2-8m+1）=-8（m2-2m-11）,
当△=0时，有．即存在符合条件的直线y=x+．
9.解∵c+λi=（λ,a），i-2λc=（1,-2λa）,
由向量平行关系得OP与AP的方程分别为λy=ax，y-a=-2λax．……………………………………①
由此消去参数λ，得点P（x,y）满足方程为,……………………………………………②
∵a>
0,从而，有
（1）当时，方程②表示的是圆，不存在符合题意的两个定点E，F；
（2）当0<
时，方程②表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：
；
（3）当时，方程②表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：
．
10.解：
（）因为边所在直线的方程为，且与垂直，
所以直线的斜率为．又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为即．
（）由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
（）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以，即．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．
从而动圆的圆心的轨迹方程为．
11.解：
（1）设切点A、B坐标分别为，
∴切线AP的方程为：
切线BP的方程为：
解得P点的坐标为：
所以△APB的重心G的坐标为，
所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
（2）方法1：
因为
由于P点在抛物线外，则
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：
①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：
即
所以P点到直线BF的距离为：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
升级会员 