《命题及其关系充分条件与必要条件》教案Word文档格式.docx

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1.理解命题的概念.

2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.

3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

教学重点

充分必要条件的判断和四种命题及其关系

教学难点

教学过程

一、课堂导入

思考下列命题的题设(条件)是什么?

结论是什么?

并判断是否正确?

你的理由是什么?

(1)边长为a(a>0)的等边三角形的面积为 

 

;

(2)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

(3)对于任何实数x,x2 

<0.

二、复习预习

1、集合的概念及性质

2、集合的相互关系及运算

三、知识讲解

考点1命题

在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.

考点2四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系:

①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

考点3充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.

(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充分必要条件.记作p⇔q.

四、例题精析

【例题1】

【题干】设原命题是“当c>

0时,若a>

b,则ac>

bc”,写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判断它们的真假

【解析】“当c>

0时”是大前提,写其他命题时应该保留,原命题的条件是a>

b,结论是ac>

bc.

因此它的逆命题:

当c>

0时,若ac>

bc,则a>

b.它是真命题;

否命题:

0时,若a≤b,则ac≤bc.它是真命题;

逆否命题:

0时,若ac≤bc,则a≤b.它是真命题.

【例题2】

【题干】已知命题p:

函数f(x)=|x-a|在(1,+∞)上是增函数,命题q:

f(x)=ax(a>

0且a≠1)是减函数,则p是q的(  )

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若命题p为真,则a≤1;

若命题q为真,

则0<

a<

1.∵由q能推出p但由p不能推出q,

∴p是q的必要不充分条件.

【例题3】

【题干】已知不等式<

1的解集为p,不等式x2+(a-1)x-a>

0的解集为q,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是(  )

A.(-2,-1]        B.[-2,-1]

C.[-3,1]D.[-2,+∞)

【解析】不等式<

1等价于-1<

0,即>

0,解得x>

2或x<

1,所以p为(-∞,1)∪(2,+∞).不等式x2+(a-1)x-a>

0可以化为(x-1)(x+a)>

0,当-a≤1时,解得x>

1或x<

-a,即q为(-∞,-a)∪(1,+∞),此时a=-1;

当-a>

1时,不等式(x-1)(x+a)>

0的解集是(-∞,1)∪(-a,+∞),此时-a<

2,即-2<

-1.综合知-2<

a≤-1.

【例题4】

【题干】设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.

【答案】3或4

【解析】x==2±

,因为x是整数,即2±

为整数,所以为整数,且n≤4,又因为n∈N*,取n=1,2,3,4,验证可知n=3,4符合题意,所以n=3,4时可以推出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根.

五、课堂运用

【基础】

1.(2013·

潍坊模拟)命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(  )

A.与原命题同为假命题

B.与原命题的否命题同为假命题

C.与原命题的逆否命题同为假命题

D.与原命题同为真命题

解析:

选D 原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题.

2.(2013·

日照模拟)已知直线l1:

x+ay+1=0,直线l2:

ax+y+2=0,则命题“若a=1或a=-1,则直线l1与l2平行”的否命题为(  )

A.若a≠1且a≠-1,则直线l1与l2不平行

B.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2不平行

C.若a=1或a=-1,则直线l1与l2不平行

D.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2平行

选A 命题“若A,则B”的否命题为“若綈A,则綈B”,显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”.

3.(2012·

安徽高考)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的(  )

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

选A 若α⊥β,又α∩β=m,b⊂β,b⊥m,根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α,又因为a⊂α,所以a⊥b;

反过来,当a∥m时,因为b⊥m,一定有b⊥a,但不能保证b⊥α,即不能推出α⊥β.

【巩固】

4.(2013·

南京模拟)有下列几个命题:

①“若a>

b,则a2>

b2”的否命题;

②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;

③“若x2<

4,则-2<

x<

2”的逆否命题.

其中真命题的序号是________.

①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误.

②原命题的逆命题为:

“x,y互为相反数,则x+y=0”正确.

③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”正确.

答案:

②③

5.已知α:

x≥a,β:

|x-1|<

1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________.

α:

x≥a,可看作集合A={x|x≥a},

∵β:

1,∴0<

2,

∴β可看作集合B={x|0<

2}.

又∵α是β的必要不充分条件,∴BA,∴a≤0.

(-∞,0]

【拔高】

6.已知集合A=,B={x|-1<

m+1,x∈R},若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A,则实数m的取值范围是________.

A=={x|-1<

3},∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,

∴AB,∴m+1>

3,即m>

2.

(2,+∞)

7.已知集合A=,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.

解:

y=x2-x+1=2+,

∵x∈,∴≤y≤2,

∴A=.

由x+m2≥1,得x≥1-m2,

∴B={x|x≥1-m2}.

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,

∴A⊆B,∴1-m2≤,

解得m≥或m≤-,

故实数m的取值范围是∪.

课程小结

1、对“四种命题”的理解

由于原命题和它的逆否命题是等价的,所以当一个命题的真假不易判断时,往往可以转化为判断它的逆否命题的真假;

有的命题不易直接证明时,就可以改证它的逆否命题成立,所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”.

要注意:

否命题与命题的否定是不同的.

2、判断命题充要条件的三种方法是:

①定义法.

②等价法:

即利用A⇒B与綈B⇒綈A;

B⇒A与綈A⇒綈B;

A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题,一般运用等价法;

③利用集合间的包含关系判断,若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;

若A=B,则A是B的充要条件.

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