高考数学 解题方法 小题小做 巧妙选择 理Word文档下载推荐.docx

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【答案】D

【解析】由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，

则S∩T＝{x|0<

x≤2或x≥3}．故选D.

2．（2017·

全国卷Ⅱ）执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝（　　）

A．2B．3

C．4D．5

【答案】B

【解析】运行程序框图，

a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；

S＝0＋（－1）×

1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；

S＝－1＋1×

2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；

S＝1＋（－1）×

3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；

S＝－2＋1×

4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；

S＝2＋（－1）×

5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；

S＝－3＋1×

6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，输出S＝3.

二、数形结合法

根据题目条件作出所研究问题的有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断．

【例2】　（2013·

全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，0]B．（－∞，1]

C．[－2,1]D．[－2,0]

【解析】当x≤0时，f（x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤0，所以|f（x）|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥（a＋2）x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；

当x＞0时，f（x）＝ln（x＋1）＞0，所以|f（x）|≥ax化简为ln（x＋1）＞ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f（x）|≥ax恒成立，选择D.

全国卷Ⅱ）已知F1，F2是双曲线E：

－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为（　　）

A．B．

C．D．2

【解析】作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A．

2．（2014·

全国卷Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为（　　）

A．10B．8

C．3D．2

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B（5,2）时，对应的z值最大．故zmax＝2×

5－2＝8.

三、验证法

将选项或特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题目条件，然后选择符合题目条件的选项的一种方法．在运用验证法解题时，若能根据题意确定代入顺序，则能提高解题速度．

【例3】　（2016·

全国卷Ⅰ）若a>

b>

1,0<

c<

1，则（　　）

A．ac<

bcB．abc<

bac

C．alogbc<

blogacD．logac<

logbc

【答案】C

【解析】法一：

（特殊值验证法）根据a，b，c满足的条件，取特殊值求解．

∵a>

1，

∴不妨取a＝4，b＝2，c＝，

对于A,4＝2,2＝，2>

，

∴选项A不正确．

对于B,4×

2＝4，2×

4＝4,4>

4，

∴选项B不正确．

对于C,4×

log2＝－4,2×

log4＝－1，－4<

－1，

∴选项C正确．

对于D，log4＝－，log2＝－1，－>

∴选项D不正确．

故选C．

法二：

（直接法）根据待比较式的特征构造函数，直接利用函数单调性及不等式的性质进行比较．

∵y＝xα，α∈（0,1）在（0，＋∞）上是增函数，

∴当a>

1时，ac>

bc，选项A不正确．

∵y＝xα，α∈（－1,0）在（0，＋∞）上是减函数，

1，即－1<

c－1<

0时，

ac－1<

bc－1，即abc>

bac，选项B不正确．

1，∴lga>

lgb>

0，∴alga>

blgb>

0，

∴>

.又∵0<

1，∴lgc<

0.

∴<

，∴alogbc<

blogac，选项C正确．

同理可证logac>

logbc，选项D不正确．

（2016·

全国卷Ⅰ）若函数f（x）＝x－sin2x＋asinx在（－∞，＋∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）

A．[－1,1]B．

C．D．

（特殊值验证法）取a＝－1，则f（x）＝x－sin2x－sinx，f′（x）＝1－cos2x－cosx，但f′（0）＝1－－1＝－＜0，不具备在（－∞，＋∞）单调递增的条件，故排除A、B、D.故选C．

（直接法）函数f（x）＝x－sin2x＋asinx在（－∞，＋∞）单调递增，等价于f′（x）＝1－cos2x＋acosx＝－cos2x＋acosx＋≥0在（－∞，＋∞）恒成立．设cosx＝t，则g（t）＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，所以解得－≤a≤.故选C．

四、排除法

排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具体的做法是从条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论．

【例4】　（2017·

全国卷Ⅰ）函数y＝的部分图象大致为（　　）

【解析】根据函数的性质研究函数图象，利用排除法求解．令函数f（x）＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f（－x）＝＝＝－f（x），所以f（x）＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；

因为f

（1）＝＞0，f（π）＝＝0，故排除A、D，选C．

全国卷Ⅰ）函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为（　　）

【解析】∵f（x）＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，

又f

（2）＝8－e2∈（0,1），故排除A，B.

设g（x）＝2x2－ex，则g′（x）＝4x－ex.

又g′（0）<

0，g′

（2）>

∴g（x）在（0,2）内至少存在一个极值点，

∴f（x）＝2x2－e|x|在（0,2）内至少存在一个极值点，排除C．故选D.

2．（2015·

全国卷Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（　　）

【解析】当x∈时，f（x）＝tanx＋，图象不会是直线段，从而排除A、C．

当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2.∵2<

1＋，∴f<

f＝f，从而排除D，故选B.

五、割补法

“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间．

【例5】　（2016·

全国卷Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（　　）

A．17πB．18π

C．20πD．28π

【答案】A

【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图．设球的半径为R，则πR3－×

πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面积为×

4πR2＋πR2＝17π.故选A．

（2015·

全国卷Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　　）

【解析】由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝×

×

1×

1＝，剩余部分的体积V2＝13－＝.所以＝＝，故选D.

六、极端值法

选择运动变化中的极端值，往往是动静转换的关键点，可以起到降低解题难度的作用，因此是一种较高层次的思维方法．

从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，运用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低难度，优化解题过程．

【例6】　（2016·

全国卷Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（　　）

A．4πB．

C．6πD．

【解析】由题意得，要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R，∵△ABC的内切圆半径为＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤，∴Vmax＝×

π×

3＝.故选B.

如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（　　）

A．3∶1B．2∶1

C．4∶1D．∶1

【解析】将P，Q置于特殊位置：

P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ（＝0），则有.故过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1（或1∶2）．

七、估值法

由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”．

【例7】　（2017·

全国卷Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　）

A．90πB．63π

C．42πD．36π

【解析】由题意，知V圆柱＜V几何体＜V圆柱．

又V圆柱＝π×

32×

10＝90π，

∴45π＜V几何体＜90π.

观察选项可知只有63π符合．故选B.

若双曲线－＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（　　）

A．B．

【解析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，－4），所以＝.

因为e＝>

，所以e>

.

故选D.

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