项式定理各种题型解题技巧Word下载.docx
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4．常用的结论：
令a1,bx,（1x）nCnC：
xCnX2Lc；
xrLC；
xn（nN）
令a1,bx,（1x）nCOC：
xC'
x2LC；
xrL
（1）nC；
5．性质：
①二项式系数的对称性：
与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即
②二项式系数和：
令ab1,则二项式系数的和为
变形式cnC；
LcnLC：
2
③奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中，令a1,b1,
④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
n
式系数c2取得最大值。
如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式
n1n1
系数cF,C王同时取得最大值
⑥系数的最大项：
求
C（abx）n展幵式中最大的项，般米用待定系数法。
设展
幵式中各项系数分别
从而解出r来
6.二项式定理的^一种考题的解法:
题型一：
二项式定理的逆用；
例：
cnCn6c362LCn6n1
解：
（16）nC0cn6C；
62C；
63LC：
6n与已知的有一些差距,
练:
Cn3C29C3L3n1Cn.
解:
设SnCn3C：
9C3L3n1C：
，贝y
3SnC：
3c232C；
33LC；
3nC0C：
3C^2C；
33LC：
3n1（13）n1
（13）n14n1
Sn
33
题型二：
利用通项公式求xn的系数；
在二项式（43F）n的展幵式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的
系数？
由条件知C：
245，即C；
45，n；
n900，解得n9（舍去）或n10，
由
1210r2r
TriG0（x刁）10r（x；
）r，由题意-r3,解得r6，
43
贝y含有X3的项是第7项T61C10X3210x3,系数为210。
练：
求（x2丄）9展幵式中x9的系数？
2x
Tr1C9（x2）9r（丄）rC；
x182r（-）rxrC9（-）rx183r，令183r9,则r3
2x22
故x9的系数为C：
（片却。
22
题型三：
利用通项公式求常数项；
求二项式（2x丄）6的展幵式中的常数项？
Tr!
c；
（2x）6r
（1）r（丄）r
（1）rC626r（-）rx62r，令62r0,得r3，所以2x2
T4
（1）C620
若（x2[）n的二项展幵式中第5项为常数项，则n____.
x
T5c4（x2）n4』）4c4x2n12，令2n120,得n6.
题型四：
利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
求二项式c.x3x）9展幵式中的有理项？
1127r
Tr1c9（x2）9r（x3）r
（1）rC9rx^，令辽丄Z,（0r9）得r3或r9，
6
所以当r3时，孔丄4，T4
（1）3C<
3x484x4，
27r3933
当r9时，3，T10
（1）C9xx。
题型五：
奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和；
令x1,则有a。
a1an
0,①，令x
1,则有
a°
a1a2a3
（1）nan
2n,②
将①-②得：
2（a1
a3a5
）2n,a1
2*1
有题意得，2n1
256
28，n90
若（#5右亍的展幵式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间
项。
QCn0CnCnC2rc：
CnLC2r12n1,2n11024，解得
n11
所以中间两个项分别为n6,n7,T51C；
（31）6（5!
）5462x4,
61
T61462x
题型六：
最大系数，最大项；
已知（丄2x）n，若展幵式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数
2
列，求展幵式中二项式系数最大项的系数是多少？
QC；
Cn2C5,n221n980,解出n7或n14，当n7时，展幵式中二
项式系数最大的项是T4和T5T4的系数C3
（1）423沒，
T5的系数C；
』）32470,当n14时，展幵式中二项式系数最大的项是T8，
1
T8的系数C；
4
（2）7273432。
在（ab）2n的展幵式中，二项式系数最大的项是多少？
二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即
T2nTn1，也就是第n1项。
2-1
在（|3：
）n的展幵式中，只有第5项的二项式最大，则展幵式中的常数项
是多少？
只有第5项的二项式最大，则15，即n8,所以展幵式中常数项为第
七项等于C^g）27
写出在（ab）7的展幵式中，系数最大的项？
系数最小的项？
因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相
等，且同时取得最大值，从而有T4C3a4b3的系数最小，TsC74a3b4系数
最大。
若展幵式前三项的二项式系数和等于79，求（12x）n的展幵式中系数最大
的项？
由Cn
cnCn79,解出n12,假设Tr1项最大，Q（12x）12（-）12（14x）12
Ar1
ACr4rCr14r1
r121211，化简得到9.4r10.4，又Q0r12，
Ar2CMC1^4r1
r10，展幵式中系数最大的项为昭有Tn加"
1016896x10
在（12x）10的展幵式中系数最大的项是多少？
假设Tr
1项最大，QTr1G；
2rxr
rrr1r1
ArC^C^21解得2（11r）r，化简得到
Ar2C；
2rc；
。
©
1,r12（10r）
6.3k
7.3，又Q0r10，r7,展幵式中系数最大的项为
T80702.715360X7.
题型七：
含有三项变两项；
求当（x23x2）5的展幵式中x的一次项的系数?
解法①：
（x23x2）5[（x22）3x]5，£
1C5（x22）5r（3x）r，当且仅当r1
时，Tr1的展幵式中才有x的一次项，此时Tr1T2C5（x22）43x，所以x得一次项为c5c：
243x
它的系数为C；
C：
243240。
解法②：
（x23x2）5（x1）5（x2）5（C°
x5C5x4Cf）（C5）x5C5x42C；
25）
故展幵式中含x的项为C；
xC；
25C：
x24240x，故展幵式中x的系数
为240.
Tr1C6
（1）r|x6r（l）r
（1）6C6|x62r，得62r0,r3,lxl
T31
（1）C620.
题型八：
两个二项式相乘;
例:
求（12x）（1x）展开式中x的系数.
Q（12x）3的展开式的通项是Cm（2x）mCm2mxm,
令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此（12x）3（1x）4
的展开式中X2的系数等于C?
20C2
（1）2c321c4
（1）1C；
22C0
（1）06.
求（13x）6（1J二*展开式中的常数项.
vx
.mn4m3n
（13x）6（141）10展开式的通项为cjx3C：
0X4cmC10x12
时得展开式中的常数项为C；
C10C；
C；
0C；
C04246.
已知（1xx2）（x3）n的展开式中没有常数项，nN且2n8,则n.
（xA）n展开式的通项为cnxnrx3rcnxn4r,通项分别与前面的三项相乘可得
题型九：
奇数项的系数和与偶数项的系数和;
在（x72）2006的二项展开式中，含x的奇次幕的项之和为S,当x血时,S
设（x\2）2006=a0ax1a2x2a3x3La2006x2006①
题型十：
赋值法；
设二项式（33x1）n的展幵式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为
s,若
ps272,则n等于多少？
若（3皈-）na。
aixa?
x2anXn，有Pa。
aian，
0nn
SCnCn2
令x1得P4n，又ps272,即4n2n272（2n17）（2n16）0解得2n16或2n17（舍去），n4.
若3-x1的展幵式中各项系数之和为64，则展幵式的常数项为多
.x
少？
令x1，贝y3寂丄的展幵式中各项系数之和为2n64，所以n6，
dx
则展幵式的常数项为C：
（^x）3（
1）3540.
、、x
若（1
2009
2x）
12
a0a1xa2x
3
a3X
2009.
a2009x（X
R）,则ai
a2
笋的值为
令x
可得a°
a〔a?
~~2
a2009
^2009
0,12
若（x
2）5a§
x5
4
a4X
32
a3Xa?
qx1a°
则a1
a2a3
0得a。
32,令x
1得a0a1
a2a3a4a5
1,
题型十一:
整除性；
证明:
32n28n
9（n
N*）能被64整除
a4
ao
a5
N*）能被64整除
证：
32n28n99n18n9（81）n18n9由于各项均能被64整除32n28n9（n
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