项式定理各种题型解题技巧Word下载.docx

1、4常用的结论：令a 1,b x, （1 x）n Cn C：x CnX2 L c；xr L C；xn（n N ）令a 1,b x, （1 x）n CO C：x Cx2 L C；xr L （ 1）nC；5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即二项式系数和：令a b 1,则二项式系数的和为变形式 cn C； L cn L C： 2奇数项的二项式系数和 二偶数项的二项式系数和:在二项式定理中，令a 1,b 1 ,奇数项的系数和与偶数项的系数和:n式系数c2取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式n 1 n 1系数cF, C王同时取得最大值系数的最大项

2、：求C （a bx）n展幵式中最大的项， 般米用待定系数法。设展幵式中各项系数分别从而解出r来6.二项式定理的一种考题的解法:题型一：二项式定理的逆用；例：cn Cn 6 c3 62 L Cn 6n 1解：（1 6）n C0 cn 6 C； 62 C； 63 L C： 6n与已知的有一些差距,练:Cn 3C2 9C3 L 3n 1Cn .解:设 Sn Cn 3C： 9C3 L 3n 1C：，贝y3Sn C：3 c232 C；33 L C；3n C0 C：3 C2 C；33 L C：3n 1 （1 3）n 1（1 3）n 1 4n 1Sn3 3题型二：利用通项公式求xn的系数；在二项式（4 3F

3、）n的展幵式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？由条件知C： 2 45，即C； 45， n； n 90 0，解得n 9（舍去）或 n 10，由1 2 10 r 2rTr i G0（x 刁）10 r（x；）r ，由题意 -r 3,解得 r 6，4 3贝y含有X3的项是第7项T6 1 C10X3 210x3,系数为210。练：求（x2丄）9展幵式中x9的系数？2x Tr 1 C9（x2）9 r（丄）r C；x182r（ -）rx r C9（ -）rx183r，令 18 3r 9,则 r 32x 2 2故x9的系数为C：（片却。2 2题型三：利用通项公式求常数项；求二项式（2x丄）6的展

4、幵式中的常数项？ Tr ! c；（2x）6r（ 1）r （丄）r （ 1）rC626 r（-）rx6 2r，令 6 2r 0,得 r 3，所以 2x 2T4 （ 1） C6 20若（x2 ）n的二项展幵式中第5项为常数项，则n _.x T5 c4（x2）n4）4 c4x2n 12，令 2n 12 0,得 n 6.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；求二项式c.x 3x）9展幵式中的有理项？1 1 27 rTr 1 c9（x2）9 r（ x3）r （ 1）rC9rx，令辽丄 Z,（ 0 r 9）得 r 3或r 9，6所以当 r 3时，孔丄 4，T4 （ 1）3C3x4 84x4，27 r

5、 393 3当 r 9 时， 3， T10 （ 1） C9x x。题型五：奇数项的二项式系数和 二偶数项的二项式系数和；令x 1,则有a。a1 an0,，令x1,则有a a1 a2 a3（1）nan2n,将-得：2（ a1a3 a5）2n, a12* 1有题意得，2n 125628 ， n 9 0若（# 5右亍的展幵式中，所有的奇数项的系数和为 1024，求它的中间项。QCn0 Cn Cn C2r c： Cn L C2r 1 2n 1 , 2n1 1024，解得n 11所以中间两个项分别为n 6,n 7 , T5 1 C；（3 1 ）6（5 ! ）5 462 x 4,61T6 1 462 x题

6、型六：最大系数，最大项；已知（丄2x）n，若展幵式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数2列，求展幵式中二项式系数最大项的系数是多少？QC； Cn 2C5, n2 21n 98 0,解出n 7或n 14，当n 7时，展幵式中二项式系数最大的项是T4和T5 T4的系数 C3（1）423沒，T5的系数 C；）324 70,当n 14时，展幵式中二项式系数最大的项是 T8，1T8的系数 C；4（2）727 3432。在（a b）2n的展幵式中，二项式系数最大的项是多少？二项式的幂指数是偶数 2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n Tn 1，也就是第n 1项。2- 1在（| 3：）n的展幵式

7、中，只有第5项的二项式最大，则展幵式中的常数项是多少？只有第5项的二项式最大，则1 5，即n 8,所以展幵式中常数项为第七项等于Cg）2 7写出在（a b）7的展幵式中，系数最大的项？系数最小的项？因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有 T4 C3a4b3的系数最小，Ts C74a3b4系数最大。若展幵式前三项的二项式系数和等于 79，求（1 2x）n的展幵式中系数最大的项？由Cncn Cn 79,解出 n 12,假设 Tr1 项最大，Q （1 2x）12 （-）12（1 4x）12Ar 1A Cr 4r Cr 14r 1r 12 12

8、1 1，化简得到 9.4 r 10.4，又Q0 r 12，Ar 2 CM C14r 1r 10，展幵式中系数最大的项为昭有Tn加10 16896x10在（1 2x）10的展幵式中系数最大的项是多少？假设Tr1 项最大，QTr 1 G； 2rxrr r r 1 r 1Ar C C2 1解得2（11 r） r ，化简得到Ar 2 C；2r c；。1, r 1 2（10 r）6.3 k7.3，又Q 0 r 10， r 7 ,展幵式中系数最大的项为T8 0702.7 15360X7.题型七：含有三项变两项；求当（x2 3x 2）5的展幵式中x的一次项的系数?解法：（x2 3x 2）5 （x2 2） 3

9、x5， 1 C5（x2 2）5 r（3x）r，当且仅当 r 1时，Tr 1的展幵式中才有x的一次项，此时Tr 1 T2 C5（x2 2）43x，所 以x得一次项为c5c：243x它的系数为C；C：243 240。解法：（x2 3x 2）5 （x 1）5（x 2）5 （Cx5 C5x4 Cf）（C5）x5 C5x42 C；25）故展幵式中含x的项为C；xC；25 C：x24 240x，故展幵式中x的系数为 240.Tr 1 C6（ 1）r|x6 r（l）r （ 1）6C6|x62r，得 6 2r 0, r 3, lxlT3 1 （ 1） C6 20.题型八：两个二项式相乘;例:求（1 2x） （

10、1 x）展开式中x的系数.Q （1 2x）3的展开式的通项是 Cm （2x）m Cm 2m xm,令m n 2,则m 0且 n 2, m 1且 n 1,m 2且 n 0,因此（1 2x）3（1 x）4的展开式中 X2的系数等于 C? 20 C2 （ 1）2 c3 21 c4 （ 1）1 C； 22 C0 （ 1）0 6 .求（1 3x）6（1 J二*展开式中的常数项.vx. m n 4m 3n（1 3 x）6（1 41 ）10展开式的通项为 cjx3 C：0X 4 cm C10 x 12时得展开式中的常数项为 C； C10 C； C；0 C； C0 4246.已知（1 x x2）（x 3）n的

11、展开式中没有常数项，n N且2 n 8,则n .（x A）n展开式的通项为cn xn r x3r cn xn 4r,通项分别与前面的三项相乘可得题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和;在（x 72） 2006的二项展开式中，含x的奇次幕的项之和为 S,当x 血时,S 设（x 2） 2006=a0 ax1 a2x2 a3x3 L a2006x2006 题型十：赋值法；设二项式（33 x 1）n的展幵式的各项系数的和为 p，所有二项式系数的和为s,若p s 272,则n等于多少？若 （3皈 -）n a。 aix a?x2 anXn，有 P a。 ai an，0 n nS Cn Cn 2令 x 1

12、得 P 4n，又 p s 272 ,即 4n 2n 272 （2n 17）（2n 16） 0解得 2n 16或 2n 17（舍去），n 4.若3-x 1 的展幵式中各项系数之和为 64，则展幵式的常数项为多.x少？令x 1，贝y 3寂丄的展幵式中各项系数之和为 2n 64，所以n 6，dx则展幵式的常数项为C：（x）3 （1 ）3 540.、x若（120092x）1 2a0 a1x a2x3a3X2009 .a2009x （XR）,则 aia2笋的值为令x,可得aa a? 2a200920090, 1 2若（x2）5 ax54a4X3 2a3X a?qx1 a,则 a1a2 a30得 a。 32,令 x1得 a0 a1a2 a3 a4 a51,题型十一:整除性；证明:32n2 8n9（nN*）能被64整除a4aoa5N * ）能被 64 整除证： 32n 2 8n 9 9n 1 8n 9 （8 1）n 1 8n 9 由于各项均能被 64 整除 32n 2 8n 9（n