高考文科数学导数专题复习汇编文档格式.docx
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解
(1)y′=(ex)′lnx+ex(lnx)′=exlnx+ex=ex.
(2)因为y=x3+1+,
所以y′=(x3)′+
(1)′+′=3x2-.
【训练1】
(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2x·
f′
(1)+lnx,则f′
(1)等于( )
A.-eB.-1C.1D.e
解析 由f(x)=2xf′
(1)+lnx,得f′(x)=2f′
(1)+,∴f′
(1)=2f′
(1)+1,则f′
(1)=-1.答案 B
(2)(2015·
天津卷)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数.若f′
(1)=3,则a的值为________.
(2)f′(x)=a=a(1+lnx).由于f′
(1)=a(1+ln1)=a,又f′
(1)=3,所以a=3.答案
(2)3
考点二 导数的几何意义
命题角度一 求切线方程
【例2】(2016·
全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是________.解析
(1)设x>
0,则-x<
0,f(-x)=ex-1+x.又f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=ex-1+x,所以当x>
0时,f(x)=ex-1+x.因此,当x>
0时,f′(x)=ex-1+1,f′
(1)=e0+1=2.则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′
(1)=2,所以切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.答案 2x-y=0
【训练2】
(2017·
威海质检)已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=0
(2)∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xlnx上,∴设切点为(x0,y0).又∵f′(x)=1+lnx,∴解得x0=1,y0=0.∴切点为(1,0),∴f′
(1)=1+ln1=1.∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.答案 B
命题角度二 求切点坐标
【例3】(2017·
西安调研)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>
0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.
解析 由y′=ex,知曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k1=e0=1.设P(m,n),又y=(x>
0)的导数y′=-,曲线y=(x>
0)在点P处的切线斜率k2=-.依题意k1k2=-1,所以m=1,从而n=1.
则点P的坐标为(1,1).答案 (1,1)
【训练3】若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________.解析
(1)由题意得y′=lnx+x·
=1+lnx,直线2x-y+1=0的斜率为2.设P(m,n),则1+lnm=2,解得m=e,所以n=elne=e,即点P的坐标为(e,e).答案
(1)(e,e)
命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)
【例4】(2015·
全国Ⅱ卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=________.
解析 由y=x+lnx,得y′=1+,得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k=y′|x=1=2,所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.又该切线与y=ax2+(a+2)x+1相切,消去y,得ax2+ax+2=0,∴a≠0且Δ=a2-8a=0,解得a=8.答案 8
【训练4】1.函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是________.
函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,即f′(x)=2在(0,+∞)上有解,而f′(x)=+a,即+a在(0,+∞)上有解,a=2-,因为a>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(-∞,2).答案
(2)(-∞,2)
2.点P是曲线x2-y-lnx=0上的任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( )
A.1B.C.D.
解析 点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,当过点P的切线和直线y=x-2平行时,点P到直线y=x-2的距离最小,直线y=x-2的斜率为1,令y=x2-lnx,得y′=2x-=1,解得x=1或x=-(舍去),故曲线y=x2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标为(1,1),点(1,1)到直线y=x-2的距离等于,∴点P到直线y=x-2的最小距离为.答案 D
第2讲 导数在研究函数中的应用
函数的单调性与导数的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,则:
(1)若f′(x)>
0,则f(x)在这个区间内单调递增;
(2)若f′(x)<
0,则f(x)在这个区间内单调递减;
(3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数.
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】设f(x)=ex(ax2+x+1)(a>0),试讨论f(x)的单调性.
解 f′(x)=ex(ax2+x+1)+ex(2ax+1)=ex[ax2+(2a+1)x+2]=ex(ax+1)(x+2)
=aex(x+2)①当a=时,f′(x)=ex(x+2)2≥0恒成立,∴函数f(x)在R上单调递增;
②当0<a<时,有>2,令f′(x)=aex(x+2)>0,有x>-2或x<-,
令f′(x)=aex(x+2)<0,有-<x<-2,∴函数f(x)在和(-2,+∞)上单调递增,在上单调递减;
③当a>时,有<2,令f′(x)=aex(x+2)>0时,有x>-或x<-2,令f′(x)=aex(x+2)<0时,有-2<x<-,
∴函数f(x)在(-∞,-2)和上单调递增;
在上单调递减.
【训练1】
(2016·
四川卷节选)设函数f(x)=ax2-a-lnx,g(x)=-,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:
当x>
1时,g(x)>
0.
(1)解 由题意得f′(x)=2ax-=(x>
0).当a≤0时,f′(x)<
0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.当a>
0时,由f′(x)=0有x=,当x∈时,f′(x)<
0,f(x)单调递减;
当x∈时,f′(x)>
0,f(x)单调递增.
(2)证明 令s(x)=ex-1-x,则s′(x)=ex-1-1.当x>
1时,s′(x)>
0,所以ex-1>
x,从而g(x)=->
考点二 求函数的单调区间
【例2】(2015·
重庆卷改编)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.
(1)确定a的值;
(2)若g(x)=f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间.
解
(1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f′=0,即3a·
+2·
=-=0,解得a=.
(2)由
(1)得g(x)=ex故g′(x)=ex+ex=ex=x(x+1)(x+4)ex.令g′(x)<
0,得x(x+1)(x+4)<
0.解之得-1<
x<
0或x<
-4.所以g(x)的单调减区间为(-1,0),(-∞,-4).
【训练2】已知函数f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于直线y=x.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
解
(1)对f(x)求导得f′(x)=--,由f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于直线y=x知f′
(1)=--a=-2,解得a=.
(2)由
(1)知f(x)=+-lnx-,(x>
0).则f′(x)=.令f′(x)=0,解得x=-1或x=5.但-1∉(0,+∞),舍去.当x∈(0,5)时,f′(x)<
0;
当x∈(5,+∞)时,f′(x)>
0.∴f(x)的增区间为(5,+∞),减区间为(0,5).
考点三 已知函数的单调性求参数
西安模拟)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+2x(a≠0).
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
解
(1)h(x)=lnx-ax2-2x,x>
0.∴h′(x)=-ax-2.若函数h(x)在(0,+∞)上存在单调减区间,则当x>
0时,-ax-2<
0有解,即a>
-有解.设G(x)=-,所以只要a>
G(x)min.(*)又G(x)=-1,所以G(x)min=-1.所以a>
-1.即实数a的取值范围是(-1,+∞).
(2)由h(x)在[1,4]上单调递减,∴当x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≤0恒成立,(**)则a≥-恒成立,所以a≥G(x)max.又G(x)=-1,x∈[1,4]因为x∈[1,4],所以∈,所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-.当a=-时,h′(x)=+x-2==,∵x∈[1,4],∴h′(x)=≤0,当且仅当x=4时等号成立.(***)
∴h(x)在[1,4]上为减函数.故实数a的取值范围是.
【训练3】已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的单调减区间为(-1,1),求a的值.
解
(1)因为f(x)在R上是增函数,所以f′(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f′(x)=3x2≥0,当且仅当x=0时取等号.∴f(x)=x3-1在R上是增函数.所以实数a的取值范围是(-∞,0].
(2)f′(x)=3x2-a.当a≤0时,f′(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,
所以a≤0不合题意.当a>
0时,令3x2-a<
0,得-<
,∴f(x)的单调递减区间为,
依题意,=1,即a=3.
第3讲 导数与函数的极值、最值
1.函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点:
若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<
0,右侧f′(x)>
0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
(2)函数的极大值与极大值点:
若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>
0,右侧f′(x)<
0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.
2.函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件:
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤
考点一 用导数研究函数的极值
命题角度一 根据函数图象判断极值
【例1】设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图