经典不等式讲义Word文档格式.docx

经典不等式讲义Word文档格式.docx

《经典不等式讲义Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经典不等式讲义Word文档格式.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

若a，b，c为实数，则|a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当

（a-b）（b-c）≥0时，等号成立．

应用要领：

“一变”：

对所求式子进行变形（拆项、重组、改变符号等），在形式上确定a，b；

“二定”：

应用绝对值三角不等式，使其出现定值；

“三相等”：

务必验证等号能否取到．

二、基本不等式

若a，b∈R，则，当且仅当a=b时，等号成立．

常见变形：

若a，b∈R，则，当且仅当

a=b时，等号成立．

定理2（基本不等式）：

若a，b>

0，则，当且仅当

（1）常见变形：

若a>

0，b>

0，则，

当且仅当a=b时，等号成立．

（2）若a，b>

0，则为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数．

定理表述：

两个正数的算术平均不小于它们的几何平均．

（3）应用要领：

“一正”：

各项均是正数；

和或者积是定值；

定理3：

若a，b，c>

0，则，当且仅当a=b=c时，等号成立．

（1）定理表述：

三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．

（2）推广：

对于n个正数a1，a2，a3，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．

三、柯西不等式

（二维形式的柯西不等式）

若a，b，c，d都是实数，则，当且仅当ad=bc时，等号成立．

对所求式子进行变形（拆项、重组等），使之形式上符合左边或右边；

应用柯西不等式，使其出现定值；

（柯西不等式的向量形式）

若α，β是两个向量，则，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立．

（二维形式的三角不等式）若x1，x2，y1，y2∈R，则

．

定理4：

（一般形式的柯西不等式）

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则

，

当且仅当bi=0（i=1，2，…，n）或存在实数k，使得ai=kbi（i=1，2，…，n）时，等号成立．

柯西不等式的常用结构：

①

②

精讲精练

1.对x，y∈R，的最小值为_______．

2.以下三个命题：

①若，则；

②若，则；

③．

其中，正确命题的序号是____________．

3.已知关于x的不等式．

（1）若该不等式有实数解，则实数的取值范围为_______

_______________________．

（2）若该不等式对任意实数x恒成立，则实数的取值范围为_____________________________．

4.已知，，求证：

（1）；

（2）．

5.若a>

0，且a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是___________（写出所有正确命题的编号）．

①ab≤1；

②；

③；

④；

⑤．

6.已知，．

（1）的最小值为_______．

（2）的最大值为___________．

（3）若，则的最小值为________．

7.已知，．

（1）的最大值为__________，此时=______，=_______．

（2）的最小值为__________．

（3）若，则的最大值为________．

8.已知x>

0，y>

0，．

（1）的最小值为_______，此时=______，=_______．

（2）的最大值为____________．

（3）若，则的最小值为___________．

9.设是不全相等的正数，求证：

10.已知．

（1）的最小值是______，此时=______，=_____．

（2）的最小值是________．

（3）若，则的最小值是_________．

11.已知．

（1）的最大值是_______．

（2）的最大值是_______．

（3）若，则的最大值是________．

12.函数的最大值是______，此时=_____．

13.设，，求证：

14.若，且，求证：

15.已知，

求证：

回顾与思考

________________________________________________________

【参考答案】

1.3

2.①②③

3.

（1）；

（2）

4.略

5.①③⑤

6.

（1）1；

（2）-1；

（3）

7.

（1）；

（2）；

8.

（1）；

9.略

10.

（1）；

11.

（1）；

12.，

13.略

14.略

15.略