20届高考数学文二轮复习 第2部分 专题2 第1讲数列等差数列与等比数列小题Word下载.docx

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由a1＋a3＋a5＝156，a2＋a4＋a6＝147，作差得3d＝－9，

所以d＝－3，所以数列{an}为递减数列，

又a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝3a1－18＝156，

解得a1＝58，所以an＝58－3（n－1）＝61－3n，n∈N*.

由an≥0得，61－3n≥0，即n≤20，n∈N*，

所以a20>

0，a21<

0，所以当n＝20时，Sn取最大值．

（2）（2019·

咸阳模拟）正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得＝2a1，且a6＝a5＋2a4，则＋的最小值是________．

答案　4

解析　数列an是正项等比数列且q≠1，

由a6＝a5＋2a4，得q2＝q＋2，

解得q＝2（负根舍去）．

由＝2a1，

得2m＋n－2＝22，m＋n＝4.

故＋＝·

·

（m＋n）

＝≥

＝（10＋6）＝4，

当且仅当

即时等号成立．

跟踪演练1　

（1）（2019·

长春模拟）等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为（　　）

A．2B．3C．4D．6

答案　C

解析　由题意知S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝54，

即a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝18,2d＝a2＋a5－（a2＋a3）＝8，所以d＝4.

吕梁模拟）Sn为等比数列{an}的前n项和，a2＝1，a＝2a7，则S6等于（　　）

A．31B.C．63D.

答案　B

解析　设数列{an}的公比为q，

则解得

所以S6＝×

＝.

（3）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a5＝1，则使得Sn>

0成立的n的最大值为________．

答案　9

解析　因为a1＝9，a5＝1，

所以公差d＝＝－2，

所以Sn＝9n＋n（n－1）（－2）＝10n－n2，

令Sn>

0，得0<

n<

10，

所以使得Sn>

0成立的n的最大值为9.

热点二　等差数列、等比数列的性质

1．通项性质：

若m＋n＝p＋q＝2k（m，n，p，q，k∈N*），则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝a.

2．前n项和的性质：

（1）对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；

对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列（q＝－1且m为偶数情况除外）．

（2）对于等差数列，有S2n＋1＝（2n＋1）an＋1.

例2　

（1）（2019·

潍坊模拟）在等差数列{an}中，若a2＋a5＋a8＝42，则数列{an}的前9项和S9等于（　　）

A．126B．130C．147D．210

答案　A

解析　∵在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝42，

∴a2＋a5＋a8＝3a5＝42，

解得a5＝14，

∴数列{an}的前9项和

S9＝（a1＋a9）＝9a5＝126.

西安陕师大附中、西安高级中学等八校联考）已知函数f（x）＝（x∈R），若等比数列{an}满足a1a2019＝1，则f（a1）＋f（a2）＋f（a3）＋…＋f（a2019）等于（　　）

A．2019B.C．2D.

解析　∵a1a2019＝1，

∴f（a1）＋f（a2019）＝＋

＝＋＝＋＝2，

∵{an}为等比数列，

则a1a2019＝a2a2018＝…＝a1009a1011＝a＝1，

∴f（a2）＋f（a2018）＝2，…，f（a1009）＋f（a1011）＝2，f（a1010）＝1，

即f（a1）＋f（a2）＋f（a3）＋…＋f（a2019）＝2×

1009＋1＝2019.

（3）已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·

an＝am＋n恒成立，且a3·

a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.

答案　21

解析　令m＝1，∵am·

an＝am＋n，

∴a1·

an＝a1＋n，

又an>

0，∴数列{an}为等比数列．

由a3·

a5＋a4＝72，得a＋a4＝72，

∵a4>

0，∴a4＝8，

∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a7

＝log2（a1·

a2·

…·

a7）＝log2a＝log287＝21.

跟踪演练2　

（1）（2019·

鞍山模拟）等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若对一切自然数n，都有＝，则等于（　　）

A.B.C.D.

答案　D

解析　＝＝＝＝.

（2）已知等比数列{an}中，a5＝2，a6a8＝8，则等于（　　）

A．2B．4C．6D．8

解析　设数列{an}的公比为q.

∵数列{an}是等比数列，

∴a6a8＝a＝8，

∴a7＝2（与a5同号），

∴q2＝＝，

∴＝q4＝（）2＝2.

（3）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于（　　）

A．－510B．400

C．400或－510D．30或40

解析　∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn，

∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等比数列，

∴10×

（130－S20）＝（S20－10）2，

解得S20＝40或S20＝－30（舍），

故S40－S30＝270，

∴S40＝400.

热点三　等差数列、等比数列的综合问题

解决数列的综合问题的失分点

（1）公式an＝Sn－Sn－1适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提；

（2）对含有字母的等比数列求和时要注意q＝1或q≠1的情况，公式Sn＝只适用于q≠1的情况．

例3　

（1）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝18，a5＝7.若a3，a6，am成等比数列，则m＝________.

答案　15

则故

所以an＝2n－3，n∈N*.

由a＝a3am，得92＝3（2m－3），

所以2m－3＝27，所以m＝15.

（2）已知等差数列{an}的前n项和为Tn，a3＝4，T6＝27，数列{bn}满足bn＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，b1＝b2＝1，设cn＝an＋bn，则数列{cn}的前11项和S11等于（　　）

A．1062B．2124C．1101D．1100

解析　设数列{an}的公差为d，

则

解得

∴数列{an}的通项公式为an＝n＋1.

当n≥2时，bn＋1－bn＝bn，

∴bn＋1＝2bn，

即数列{bn}从第二项起为等比数列，

∴bn＝2n－2（n≥2），

∴数列{bn}的通项公式为bn＝

分组求和可得数列{cn}的前11项和S11＝（2＋3＋4＋…＋12）＋（1＋1＋2＋22＋…＋29）＝77＋210＝1101.

跟踪演练3　

（1）（2019·

黄冈、华师附中等八校联考）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝3，且a2，a4，a7成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2n（n∈N*），数列{cn}满足cn＝anbn（n∈N*），则数列{cn}的前3项和为（　　）

A．31B．34C．62D．59

解析　由于a2，a4，a7成等比数列，

故a＝a2·

a7，

即（a1＋3d）2＝（a1＋d）（a1＋6d），

由于a1＝3，解得d＝1，

故an＝n＋2.当n≥2时，

bn＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，

当n＝1时，b1＝S1＝21＝2，

故bn＝

故cn的前3项和为

a1b1＋a2b2＋a3b3＝3×

2＋4×

2＋5×

4＝34.

北京房山区期末）Sn为数列{an}的前n项和，其中an表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：

6的因数有1,2,3,6，则a6＝3；

15的因数有1,3,5,15，则a15＝15.那么S30等于（　　）

A．240B．309C．310D．345

解析　an表示正整数n的所有因数中最大的奇数，

∴an＝a2n，且n为奇数时，an＝n，

∴S30＝1＋1＋3＋1＋5＋3＋7＋1＋9＋5＋11＋3＋13＋7＋15＋1＋17＋9＋19＋5＋21＋11＋23＋3＋25＋13＋27＋7＋29＋15

＝（1＋3＋5＋…＋29）＋（4＋9＋10＋14＋9＋11＋13＋15）

＝（1＋29）×

15＋85＝225＋85＝310.

热点四　数列的递推关系

由递推关系式求数列的通项公式常用的方法

（1）求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式（注意验证）；

（2）将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用累加法（适用于an＋1＝an＋f（n）型）、累乘法（适用于an＋1＝an·

f（n）型）、待定系数法（适用于an＋1＝pan＋q型）求通项公式．

例4　

（1）（2019·

榆林模拟）已知正项数列{xn}满足xn＋2＝，n＝1,2,3，…，若x1＝1，x2＝2，则x2019＝________.

答案　2

解析　根据题意，数列{xn}满足xn＋2＝，

若x1＝1，x2＝2，则x3＝＝＝2，x4＝＝＝1，

x5＝＝，x6＝＝，x7＝＝1，x8＝＝2，

则数列{xn}的周期为6，

x2019＝x3＋336×

6＝x3＝2.

永州模拟）设[x]表示不超过x的最大整数，已知数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an（an＋1），若＝100，则整数n等于（　　）

A．99B．100C．101D．102

解析　因为an＋1＝an（an＋1）＝a＋an，

所以an＋1－an＝a>

0，

故数列{an}是递增数列，且>

又由an＋1＝an（an＋1）可得＝－，

即＝－，

而＝＝1－，

从而＋＋…＋＝n－，

所以＝，

又0<

－<

＝，

所以＝n－1＝100，所以n＝101.

跟踪演练4　

（1）数列{an}满足an＋1＋an＝（－1）n·

n，则数列{an}的前20项和为（　　）

A．－100B．100C．－110D．110

解析　由an＋1＋an＝（－1）n·

n，

得a2＋a1＝－1，a3＋a4＝－3，a5＋a6＝－5，…，a19＋a20＝－19，

∴{an}的前20项和为a1＋a2＋…＋a19＋a20＝－1－3－…－19＝－×

10＝－100.

漳州模拟）已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an－1≥an（n≥2），an＋1≥an，数列{bn}的前n