全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案Word下载.docx

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3．（5分）已知xy≠1,且有5x2+2011x+9=0,9y2+2011y+5=0，则的值等于（）

4．（5分）已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（　　）

6

7

8

9

5．（5分）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数在x=1时取最小值，则△ABC是（　　）

等腰三角形

锐角三角形

钝角三角形

直角三角形

6．（5分）计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈

（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；

堆栈

（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e，d，c，取出数据的顺序则是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（　　）

5种

6种

10种

12种

二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）

7．（5分）设方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，则满足该方程的所有根之和为　_________　．

8．（5分）（人教版考生做）如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为　_________　．

8．（5分）（北师大版考生做）如图B，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则的值为　_________　．

9．（5分）已知a2﹣a﹣1=0，且，则x=　_________　．

10．（5分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有　_________　件．

11．（5分）如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45°

，∠A=60°

，CD=4m，，则电线杆AB的长为　_________　米．

12．（5分）若实数x，y，使得这四个数中的三个相同的数值，则所有具有这样性质的数对（x,y）为　_________　．

三．解答题（共4小题，满分80分，每小题20分）

13．（20分）已知：

（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式．

求证：

a=b=c

14．（20分）（2010•钦州）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．

（1）点B的坐标为　_________　；

用含t的式子表示点P的坐标为　_________　；

（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；

并求t为何值时，S有最大值？

（3）试探究：

当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？

若存在，求出点T的坐标；

若不存在，请说明理由．

15．（20分）对于给定的抛物线y=x2+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）

（1）证明：

抛物线y=x2+px+q通过定点；

（2）证明：

下列两个二次方程，x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，满分160分，每小题20分）

考点：

概率公式；

三角形三边关系；

等腰三角形的判定．732662

分析：

根据随机事件概率大小的求法，找准两点：

①符合条件的情况数目；

②全部情况的总数．

二者的比值就是其发生的概率的大小．

解答：

解：

从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段，有4种情况，由于三角形中两边之和应大于第三边，所以能构成等腰三角形的情况有2种，故能构成等腰三角形的概率==．

故选C．

点评：

此题考查概率的求法：

如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=；

用到的知识点为：

等腰三角形有2条边长相等；

构成三角形的基本要求为两小边之和大于第三边．

三角形中位线定理．732662

延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长．

延长线段BN交AC于E．

∵AN平分∠BAC，

∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°

，

∴△ABN≌△AEN，

∴AE=AB=6，BN=NE，

又∵M是△ABC的边BC的中点，

∴CE=2MN=2×

1.5=3，

∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25，

故选D．

本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题．

3.（5分）已知xy≠1,且有5x2+2011x+9=0,9y2+2011y+5=0，则的值等于（）

选B

扇形面积的计算；

三角形的面积；

勾股定理．732662

专题：

计算题．

如图，AC=4，S1+S2=10，设BC=a，利用圆的面积公式得到S1+S2+S3+S4=π×

22+π×

a2=2π+a2，于是有S3+S4=2π+a2﹣10①，再用以AB为直径的半圆减去三角形ABC的面积得到S3+S4，即S3+S4=π×

﹣×

4a=a2+2π﹣2a②，有①﹣②得到a的方程，求出a，然后代入①即可得到两个弓形（带点的阴影图形）面积之和．

如图，

AC=4，S1+S2=10，设BC=a，

∴S1+S2+S3+S4=π×

a2=2π+a2，

∴S3+S4=2π+a2﹣10①，

又∵AB2=42+a2=16+a2，

∴S3+S4=π×

4a=a2+2π﹣2a②，

①﹣②得，2π+a2﹣10=a2+2π﹣2a，解得a=5，

∴S3+S4=2π+a2﹣10=2π+×

25﹣10≈6.1，

即最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是6．

故选A．

本题考查了圆的面积公式：

S=πR2．也考查了不规则图形的面积的求法，即转化为规则的几何图形的面积的和或差来解决．

二次函数的最值；

勾股定理的逆定理．732662

根据二次函数在对称轴时取得最小值，然后根据题意列出方程组即可求出答案；

由题意可得，

即，

所以，，因此a2+c2=b2，

所以△ABC是直角三角形，

本题考查了二次函数的最值，难度不大，关键是掌握二次函数在二次项系数大于0时，在对称轴处取得最小值．

加法原理与乘法原理．732662

此题实际可以理解为a、b、c、d、e这五个字母组成的排列中，不论怎样排列，a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变，这样排列开头的字母只能是a或c，由此解答问题即可．

先取出堆栈

（1）的数据首次取出的只能是a，可以有下列情况，

abcde，acbde，acdbe，acdeb四种情况；

先取出堆栈

（2）的数据首次取出的只能是c，可以有下列情况，

cdeab，cdabe，cdaeb，cabde，cadbe，cadeb六种情况；

综上所知，共10种取法．

解决此题的关键是要搞清a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变，从而运用一一列举的方法解答即可．

2．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）

解一元二次方程-因式分解法；

绝对值；

解一元二次方程-公式法．732662

因式分解．

因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．

当2x﹣1=0时，即x=，原方程化为：

x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，