高中数学必修一集合与集合的关系知识点总结与练习Word文件下载.docx

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4、全集与补集

设是一个集合，是的一个子集，由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中的子集的补集，记作用数学式子表示为：

。

如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，我们称集合为全集，记作。

5、全集与补集的性质

（1），

（2），（3）

6、关于全集与补集的理解

（1）全集具有相对性，是相对于我们所研究的问题而言的一个概念。

如：

小学数学研究的问题常在有理数集内，则有理数集是全集。

初中代数研究的问题常在实数集内，则实数集就是全集。

补集是以全集为前提加以定义的，因此它们是相互依存不可分离的两个概念。

，则。

（2）用数学的三种语言互泽表示全集与补集：

三、基本题型

例1、判断下列关系是否正确

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）

解：

（1）任何一个集合是它本身的子集，因此，正确；

（2）两个集合中的元素相同，故用“=”号正确；

（3）空集是任何非空集合的真子集，正确；

（4）中只有一个元素0，正确；

（5）与是两个集合，不能用连接；

（6）中没有任何元素，而中有一个元素，二者不相等；

（7）空集是任何非空集合的真子集，正确；

（8）正确。

由以上分析可知：

（1）

（2）（3）（4）（7）（8）正确，（5）（6）错误。

例2、已知集合满足，则这样的集合有多少个？

分析：

由已知集合中至少含有1，2两个元素，至多含有1，2，3，4，5五个元素，故满足条件的集合的个数是的子集个数。

因集合的子集有，共8个，故满足条件的集合共有8个。

评注：

本题易丢掉或两个集合，若集合中有个元素，集合中有个元素，且，则满足的集合Z共有个。

例3、设，若，求实数。

，即是的子集，表明集合的元素都是的元素。

，∵，∴方程无解或其解为3或。

或或，或或。

因为是二元素集，而的元素最多一个，所以由可知，是的真子集，所以有三种可能，在做题过程中很容易丢掉的情况。

例4、已知，且，求的值。

由可知，两个集合中的元素应该完全相同，由此，可用集合中元素的性质解题。

根据集合中元素的无序性，有：

解方程组得

再根据集合中元素的互异性，得或。

集合中元素的互异性在解决此类问题时至关重要，要引起足够的重视。

例5、设集合以及集合，且，则与的关系是。

本题主要考查全集与补集的概念，可选用适当的方法解题。

解法1：

利用补集的性质，，故。

解法2：

由图2-1可知。

图2-1

对于较抽象的集合之间的关系，一般用韦恩图比较简单，可达到变抽象为直观的目的。

例6、已知全集，子集，且，求。

要注意到。

由补集定义知：

解得：

。

四、A级训练

1、列举集合的所有子集：

2、集合与空集的关系为：

3、若，则，，。

4、下列集合中，只有一个子集的集合是（）

A、B、

C、D、

5、已知全集，且，则集合的真子集共有个。

6、已知全集是的非空子集，若，则有（）

A、B、C、D、

五、发散思维

例1、已知，，求证。

证明：

（1）任取，则,由知，，即。

（2）任取，则，由知，即。

由

（1）

（2）可知。

例2、已知集合，求满足条件的集合。

对于方程无实根，。

，即。

，∴集合为。

例3、已知集合，当时，求的范围。

，，∴由图2-2得。

图2-2

在本书内容中，常使用数轴，韦恩图这两类图形，在与不等式有关问题中，必须画出数轴，有利于快速解题。

例4、已知全集，如果，则这样的实数是否存在？

若存在，求出；

若不存在，说明理由。

且。

，则，即，或，或。

当时，，则中有重复元素，故；

当时，；

当时，，故。

由以上可知，所求的实数存在，此时，。

六、B级训练

1、，，则下列结论正确的是（）

2、设是全集，且，则下列各式成立的是（）

C、D、

3、设，则，。

4、若集合，且，则实数的取值范围是。

七、综合应用与提高

例1、

（1）设，若，求实数组成的集合。

（2）设，若，求实数的取值范围。

以上两题，虽然一个是等式，一个是不等式，但殊途同归，解题方法一样，由于可能为空集，且时，仍然有成立，因此，都要分，两种情况讨论。

（1），或，，①时，。

②时，由知，或。

将，或代入，得，或。

由①、②可知，由组成的集合为。

（2）当时，如图2-3所示，由得解得。

图2-3

当时，，解得，由以上可得。

（1）说明集合的任何一个元素都属于。

（2）集合可能为，这一点在解题时常常容易忽视，从而致错，在解题时要特别注意这个“陷阱”。

例2、已知集合。

（1）写出的所有子集；

（2）求的所有子集的元素之和；

（3）若以这些子集为元素组成集合，判断与的关系。

第

（1）问可以按子集中元素的个数分别为0个、1个、2个、3个，进行分类讨论，写出所有子集。

第

（2）问，观察所有子集的结构特点，求出所有元素的和。

第（3）问，用列举法写出集合，则、的关系就会立即显露出来。

（1）的所有子集为。

（2）∵元素1出现在四个子集中，元素2也分别出现在四个子集中，元素3同样出现在四个子集中。

∴的所有子集的元素之和为。

（3），。

八、C级训练

1、已知，求实数的取值范围。

2、已知集合，，是否存在实数，使？

若存在，求出的范围；

九、高考零距离

1、（2002·

全国）设集合

A级训练答案及解析:

1、解：

含有0个元素的子集有：

；

含有1个元素的子集有：

含有2个元素有子集有：

含有3个元素的子集有：

∴共有8个子集。

2、解：

由于空集是任何非空集事的真子集，因此。

3、解：

由已知即

4、C，解：

5、解：

，因此有共3个真子集。

6、解：

若，则；

所以：

，选A。

B级训练解析及答案：

1、解析：

的含义是：

符合关系的的值的集合，显然，可取任意实数，所以；

的含义是：

符合的的集合，则；

方程的根的集合，解得，所以；

不等式的解集，而，这样的不存在，所以；

抛物线上的所有点；

，即，表示直线上的点。

答案：

B

2、解析：

作韦恩图如图2-4所示，可知答案为A。

图2-4

A

3、解析：

，而。

3，4

4、解析：

，可以为；

当时，方程无解，则，解得；

当时，是方程式的根，代入，得；

当时，是方程式的根，代入，得。

又∵方程有且仅有一个实根时，舍去，仅取，由以上可知。

遇到一元二次方程的根的问题时，要注意明确判别式的正负情况，即审清题意，先看方程是否有实根。

C级训练答案及解析

，时，如图2-5所示，有，即

图2-5

化简得

由图2-6知，使得不等式组同时成立的的范围是。

图2-6

当时，有，解得。

由以上可知，当，或时，都有。

由图2-7可见，这两部分在数轴上能连接起来，因此。

图2-7

即；

，，∴由图2-8得

图2-8

即。

即存在实数，当时，。

（1）明确集合都是数集，是一定范围内的数组成的集合。

（2）集合都与集合有联系，都受集合影响。

（3）以整体的观点来处理问题，集合是由元素组成的，而就是一个整体，即视为一个整体，同理，视为一个整体，就是z。

（4）由于集合中都有，因此，就间接地给出了和的取值范围。

（5）集合都是实数的范围问题，因此，可以画数轴，在同一个数轴上找出二者的联系，列出不等式组，取使得两个不等式同时成立的的范围。

全国）设集合，则（）

本题涉及集合的相等及集合之间的关系，解题的关键是理解奇偶数的概念，整数的整除及运算性质。

，和分别表示所有奇数和所有整数，故有，选B。

2、（2005·

黑龙江）设全集，求实数的值。

解决本题的关键是理解全集、补集的概念，同时注意元素的互异性。

，故必有且，解得。