高中数学必修一集合与集合的关系知识点总结与练习Word文件下载.docx

1、4、全集与补集 设是一个集合，是的一个子集，由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中的子集的补集，记作用数学式子表示为： 。 如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，我们称集合为全集，记作。5、全集与补集的性质 （1），（2），（3）6、关于全集与补集的理解 （1）全集具有相对性，是相对于我们所研究的问题而言的一个概念。如：小学数学研究的问题常在有理数集内，则有理数集是全集。初中代数研究的问题常在实数集内，则实数集就是全集。 补集是以全集为前提加以定义的，因此它们是相互依存不可分离的两个概念。，则。 （2）用数学的三种语言互泽表示全集与补集：三、基本题型例1、判断下列关系是否正确 （1

2、）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） 解：（1）任何一个集合是它本身的子集，因此，正确； （2）两个集合中的元素相同，故用“=”号正确； （3）空集是任何非空集合的真子集，正确； （4）中只有一个元素0，正确； （5）与是两个集合，不能用连接； （6）中没有任何元素，而中有一个元素，二者不相等； （7）空集是任何非空集合的真子集，正确； （8）正确。 由以上分析可知：（1）（2）（3）（4）（7）（8）正确，（5）（6）错误。例2、已知集合满足，则这样的集合有多少个？ 分析：由已知集合中至少含有1，2两个元素，至多含有1，2，3，4，5五个元素，故满足条件的集合的个数是的

3、子集个数。因集合的子集有，共8个，故满足条件的集合共有8个。 评注：本题易丢掉或两个集合，若集合中有个元素，集合中有个元素，且，则满足的集合Z共有个。例3、设，若，求实数。，即是的子集，表明集合的元素都是的元素。，方程无解或其解为3或。或或，或或。因为是二元素集，而的元素最多一个，所以由可知，是的真子集，所以有三种可能，在做题过程中很容易丢掉的情况。例4、已知，且，求的值。由可知，两个集合中的元素应该完全相同，由此，可用集合中元素的性质解题。根据集合中元素的无序性，有：解方程组得 再根据集合中元素的互异性，得或。集合中元素的互异性在解决此类问题时至关重要，要引起足够的重视。例5、设集合以及集合

4、，且，则与的关系是 。本题主要考查全集与补集的概念，可选用适当的方法解题。 解法1：利用补集的性质，故。 解法2：由图2-1可知。 图2-1对于较抽象的集合之间的关系，一般用韦恩图比较简单，可达到变抽象为直观的目的。例6、已知全集，子集，且，求。要注意到。由补集定义知：解得：。四、A级训练1、列举集合的所有子集：2、集合与空集的关系为：3、若，则 ， ， 。4、下列集合中，只有一个子集的集合是（ ） A、 B、 C、 D、5、已知全集，且，则集合的真子集共有 个。6、已知全集是的非空子集，若，则有（ ） A、 B、 C、 D、五、发散思维例1、已知，求证。 证明：（1）任取，则,由知，即。 （

5、2）任取，则，由知，即。由（1）（2）可知。例2、已知集合，求满足条件的集合。对于方程无实根，。，即。，集合为。例3、已知集合，当时，求的范围。，由图2-2得。 图2-2在本书内容中，常使用数轴，韦恩图这两类图形，在与不等式有关问题中，必须画出数轴，有利于快速解题。例4、已知全集，如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出；若不存在，说明理由。且。，则，即，或，或。 当时，则中有重复元素，故； 当时，； 当时，故。 由以上可知，所求的实数存在，此时，。六、B级训练1、，则下列结论正确的是（ ）2、设是全集，且，则下列各式成立的是（ ） C、 D、3、设，则 ， 。4、若集合，且，则实数的取值范围

6、是 。七、综合应用与提高例1、（1）设，若，求实数组成的集合。 （2）设，若，求实数的取值范围。以上两题，虽然一个是等式，一个是不等式，但殊途同归，解题方法一样，由于可能为空集，且时，仍然有成立，因此，都要分，两种情况讨论。（1），或，时，。时，由知，或。将，或代入，得，或。 由、可知，由组成的集合为。 （2）当时，如图2-3所示，由得解得。 图2-3 当时，解得，由以上可得。（1）说明集合的任何一个元素都属于。 （2）集合可能为，这一点在解题时常常容易忽视，从而致错，在解题时要特别注意这个“陷阱”。例2、已知集合。 （1）写出的所有子集； （2）求的所有子集的元素之和； （3）若以这些子集为

7、元素组成集合，判断与的关系。第（1）问可以按子集中元素的个数分别为0个、1个、2个、3个，进行分类讨论，写出所有子集。 第（2）问，观察所有子集的结构特点，求出所有元素的和。 第（3）问，用列举法写出集合，则、的关系就会立即显露出来。（1）的所有子集为。 （2）元素1出现在四个子集中，元素2也分别出现在四个子集中，元素3同样出现在四个子集中。 的所有子集的元素之和为。 （3），。八、C级训练1、已知，求实数的取值范围。2、已知集合，是否存在实数，使？若存在，求出的范围；九、高考零距离1、（2002全国）设集合A级训练答案及解析:1、解：含有0个元素的子集有：； 含有1个元素的子集有： 含有2个

8、元素有子集有： 含有3个元素的子集有：共有8个子集。2、解：由于空集是任何非空集事的真子集，因此。3、解：由已知即4、C，解：5、解：，因此有共3个真子集。6、解：若，则；所以：，选A。B级训练解析及答案：1、解析：的含义是：符合关系的的值的集合，显然，可取任意实数，所以； 的含义是：符合的的集合，则；方程的根的集合，解得，所以；不等式的解集，而，这样的不存在，所以；抛物线上的所有点；，即，表示直线上的点。答案：B2、解析：作韦恩图如图2-4所示，可知答案为A。 图2-4A3、解析：，而。3，44、解析：，可以为；当时，方程无解，则，解得；当时，是方程式的根，代入，得； 当时，是方程式的根，代

9、入，得。 又方程有且仅有一个实根时，舍去，仅取，由以上可知。遇到一元二次方程的根的问题时，要注意明确判别式的正负情况，即审清题意，先看方程是否有实根。C级训练答案及解析，时，如图2-5所示，有，即 图2-5化简得 由图2-6知，使得不等式组同时成立的的范围是。 图2-6 当时，有，解得。由以上可知，当，或时，都有。 由图2-7可见，这两部分在数轴上能连接起来，因此。 图2-7即；，由图2-8得 图2-8即。即存在实数，当时，。（1）明确集合都是数集，是一定范围内的数组成的集合。 （2）集合都与集合有联系，都受集合影响。 （3）以整体的观点来处理问题，集合是由元素组成的，而就是一个整体，即视为一个整体，同理，视为一个整体，就是z。 （4）由于集合中都有，因此，就间接地给出了和的取值范围。 （5）集合都是实数的范围问题，因此，可以画数轴，在同一个数轴上找出二者的联系，列出不等式组，取使得两个不等式同时成立的的范围。全国）设集合，则（ ）本题涉及集合的相等及集合之间的关系，解题的关键是理解奇偶数的概念，整数的整除及运算性质。，和分别表示所有奇数和所有整数，故有，选B。2、（2005黑龙江）设全集，求实数的值。解决本题的关键是理解全集、补集的概念，同时注意元素的互异性。，故必有且，解得。