电大高等数学基础形成性考核手册答案.docx
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电大高等数学基础形成性考核手册答案
高等数学基础形考作业1：
第1章函数
第2章极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．
A.f（x）（x）2，g（x）xB.f（x）x2，g（x）x
3
C.f（x）lnx，g（x）3lnx
D.f（x）x1，g（x）
x21
x1
⒉设函数f（x）的定义域为（
），则函数
f（x）f（x）的图形关于（
对称．
B.x轴D.
A.坐标原点
C.y轴
⒊下列函数中为奇函数是（B）．
B.f（x）在点x0的某个邻域内有定义
D.limf（x）limf（x）
xx0xx0
A.limf（x）f（x0）xx0
C.limf（x）f（x0）xx0
二）填空题
⒈函数f（x）
x29
ln（1x）的定义域是3,
⒉已知函数
f（x
1）
x2
x，则
f（x）
2
x2-x
⒊lim（1
x
21x）
1
e2．
⒋若函数
f（x）
（1
1
x）x
k,
0，在
0
x0处连续，则ke
⒌函数y
1,
sinx,
0的间断点是
0
0．
⒍若lim
xx0
f（x）A，
则当
xx0时，
f（x）
A称为xx0时的无穷小量。
（三）计算题
⒈设函数
f（x）
x0
x,
x0
求：
f（
2）,f（0）,
f
（1）
解：
f
2，
f0
⒉求函数
lg
2x
1的定义域．
x
2x
解：
y
lg
2x
1有意义，要求
x
解得
x0
1或x
2
0
则定义域为x|x0或x1
2
⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，示成其高的函数．
解：
梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表
设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R
⒋求
解：
⒌求
解：
⒍求
解：
⒎求
解：
直角三角形AOE中，利用勾股定理得
AEOA2
OE2R2
h2
则上底＝2AE
h
故Shg2R
2sin3xlim．x0sin2x
lxim0
sin3x
sin2x
x2
2R2h2
2R2h2
sin3x
3xlim3xx0sin2x
0sin2x
2x
2x
RR2
sin3xlim3xx0sin2x2x
h2
lim
x1sin（x1）
x21limx1sin（x
tan3xlimx0x
tan3xlimx0x
1）
2
1xlimx0sinx
1）（x
lim（x
x1sin（x1）
sin3xlimx0
g1
xcos3x
1x21lim
x0sinx
x1x
⒏求lxim（xx13）x．
解：
lxim（xx13）x
xx3
⒐求
解：
1）
lxim1sin（x1）
11
sin3xlimx03x
cos3x
（1x21）（1x21）limx0（1x2
lim
x0
（1
1lim（x
3x）x
limx226x
x4x25x4
lxim4
2
x26x8
x25x4
⒑设函数
sinx
1）
x
1）sinx
0
1
lim
x
（1
（1
lim
x4x4x1
lxim0
（1
2
x
2
x
1）sinx
1x）x
x
3x
3）x
x
lim
x
1x1
[（11）x]1x1xx）3x]3x
3
[（1
1
e
3
e
lim
x4x1
2
（x2）2,x1f（x）x,1x1
x1,x1讨论f（x）的连续性。
解：
分别对分段点x1,x1处讨论连续性
1）
limfx
limx
1
x1
x1
limfx
limx
1
110
x1
x1
所以limf
xlim
fx
，即fx在x1处不连续
x1
x1
2）
2
2
limfx
limx
22
1221
x1
x1
limfx
limx
1
x1
x1
f11
所以limf
xlimf
x
f1即fx在x1处连续
x1
x1
由（
1）
（2）得f
x在除点
x
1外均连续
高等数学基础作业2答案：
h0
2h
A.2f（x0）
B.f（x0）
C.2f（x0）
D.f（x0）
⒊设f（x）ex，则lim
f（1
x）f
（1）（A）
x0
x
1
1
A.eB.2eC.
e
D.e
2
4
⒋设f（x）x（x1）（x
2）
（x99），则f（0）
f（x0
2h）f（x0）
可导，则lim
D）．
在x0
⒉设
D）．
A.99
B.99
C.99!
D.99!
⒌下列结论中正确的是（C）．
A.若f（x）在点
x0有极限，则在点x0可导．
B.若
f（x）在点x0连续，则在点x0可导．
C.若f（x）在点
x0可导，则在点x0有极限．
D.若
f（x）在点x0有极限，则在点x0连续．
二）填空题
⒈设函数f（x）
21
xsin,x0
x，则
0,x0
f（0）
x
⒉设f（ex）
2x
e
5ex，则df（lnx）2lnx5dx
⒊曲线
f（x）
x1在（1,2）处的切线斜率是k1
2
⒋曲线
f（x）
π
sinx在（2,1）处的切线方程是
⒌设y
x2x，则y2x2x（1lnx）
⒍设y
1
xlnx，则y
x
三）计算题
⒈求下列函数的导数y：
⑴y
（xx3）ex
解:
yxx3ex
xx3ex
3
（x23）ex
3x2ex
2
⑵y
2
cotxx
ln
解：
cotx
lnxx
lnx
2
cscx
2xlnx
⑶y
2
x
lnx
解：
x2ln
xx2lnxln2x
2xln
x
ln2x
2x
⑷y
解：
x3x3cosx2xcosx2x
32
x
x（sinx2xln2）3（cosx2x）
⑸y
lnx
sinx
解：
lnx
sinxlnxx2sinx
2
sinx
sinx（1
x
2
2x）（lnxx）cosx
sin
⑹y
sinxlnx
解：
sinx
lnxsinxlnx
4x3
sinxcosxlnx
sinx
2
解：
y
⑻y
x
etanx
lnx
解：
y
xe
tanx
⒉求下列函数的导数y
⑴y
xe
解：
y
xe
e
1
x
xe
⑺y
x3x
23x
2x
sinxx3x2
3x
3x（cosx2x）（sin
xx2）3xln3
tanx
lnxextan
1x
2xe
x
e
2
cosx
⑵y
lncosx
sinx
sinx
32x
1
解：
y
解：
y
x8
tanxcos
7x8
8
⑷y
sin2x
解：
y
2sinxsinx2sinxcosx
2sin2x
⑸y
2
sinx
解：
y
2
cosx
2x
2xcosx
⑹y
2
x
cose
解：
y
2
x
sine
2
2xex
2
x
sine
⑺ysinnxcosnx
解：
y
n
sinxcosnx
nn1n
sinxcosnxnsinxcosxcosnxnsinxsin（nx）
⑻y
5sinx
解：
y
sinx
5ln5
cosx
sinx
ln5cosx5
⑼y
cosx
e
解：
y
cosx
e
sin
cosxsinxecosx
⒊在下列方程中，y
y（x）是由方程确定的函数，求y：
⑴ycosxe2y
解：
cosxysin
2e2yy
ysinx
cosx2e2y
⑵y
cosylnx
解：
siny.ylnx
1cosy.
x
cosy
x（1sinylnx）
2
x
⑶2xsiny
2yx
解：
2xcosy.y2siny
2
xy
2
y
2
y（2xcosy2）
y2
2xy2ysiny
2yy2x2sinyy2xy2cosyx2
y2xycosyx
解：
y
1y
⑸lnx
ey
解：
1
x
eyy
2yy
x（2y
1
ey）
⑹y2
x
esiny
解：
2yy
x
ecosy.y
sin
x
y.e
x
esiny
2yex
cosy
⑺ey
解：
eyy
3y2y
xeey
3y2
⑻y5x
2y
解：
y5xln5
y
y2
ln2
5xln5
12yln2
⒋求下列函数的微分
dy：
注：
dy
ydx）
⑴y
cotxcscx
解：
csc2
xcscxcotx
dy（cos12x
cosx
cosx
2）dxsinx
⑵y
lnx
sinx
解：
1
sinxlnxcosx
x
2
sinx
dy
1
sinx
x
lnxcosx
dx
2
sinx
⑶y
2
sinx
解：
y
2sinxcosx
dy
2sinxcosxdx
⑹y
tanex
解：
y
2xxsecee
dy
sec2exexdx
exsec2exdx
⒌求下列函数的二阶导数：
解：
y
1?
2
14x2
⑵y
3x
解：
y
3xln3
ln3
3x
ln3
ln233x
⑶y
解：
y
⑷y
lnx
1y
xxsinx
解：
y
sinx
xcosx
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