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HO收敛，又在州发散，则存在唯一的广＞0使得?
2=0〃=0
S工％"
在（-"
）内绝对收敛，而在［-厂丿］外处处发散.
发散
I.・・・・・・收敛・・・・・
\・・・•・••
））Q严•：
（
-x\~r~xo
0C
定义2•设
71=0
⑴•若乞咛"
仅在0收敛，则令r=0.
n=0
⑵•若^aux在（-oo,+oo）收敛，则令r=oo.
n=Q
（3）.若工y"
在兀H0收敛，又工y"
在码发散，贝I」令
=0/?
X、
00
r=sup
敛端点叫做Eanxu收敛域.
oo
问题3:
设,探究工©
X收敛的收敛半径的计算公式.
n=0n=0
（1）.当Zw（0,+oo）吋,limx1=打斗；
若Z|x|<
l,即|
卄认）|
1s1
敛，若/|x|>
1,即|x|>
y,则丿"
发散•故广=7・
⑵.当u=0n^,lim-"
t-J=/X=0<
1,XG/?
故工c"
在R收敛，J：
是
S
-I|x|=4-GO,XG7?
\{0},故工色丿"
在/?
\{0}发
散,仅在兀=0收敛，故2+00.
若limp旦=/,则lim倆=/・
于是,我们有
定理1.若lim
TS
区间为（-几厂）.
定理2•若lim
“一X2C
an
=/，或lim血订=/，则£
%兀"
的收敛半径厂=],且收敛
‘"
=1'
=/，或lim^J=/,则丫陽（兀一兀0）"
的收敛半径r=-,且
T00〃=]I
5
收敛区间为（x0-r,x0+r）.例1.求下列幕级数的收敛半径，收敛区间，收敛域.
S001SS1
（1）.£
—x"
;
（2）•工一尢"
；
（3）.\^;
（4）.y—（x-2）\
心〃„=1n!
”=i„=|n~
2“
解：
（1）.I大"
=limdj^j=lim彳
〃一>
8Y//—>
QC\
=lim~^==2,故厂=丄n"
TOCnjn2
ocI
£
丄发散.
«
=i斤
1SCCQfl
又当X詁时，工
2心n心n
|oonnsQn（|
当2J时，工工丄
2n=\ti/f=jn
故E-y,的收敛半径为—丄，收敛区间为n2
=z（-r!
收敛.
n=\n
，收敛域为
J
~2'
2/
（2）•因Z=lim
T8
=lim
（/?
+!
）!
n\
lim=0,故广=+oo•
n+1
故£
丄兀"
的收敛半径为r=+00,收敛区间为（-00,00）,收敛域为（-00,00）.n=\乳!
（3）.SZ=lim
”T8
Man-limVzF=limn-+oo，故厂=0.VK—>
co"
TOO
co
故乂＞*的收敛半径为,=o.
（4）.因/=
T8¥
/|->
CO\
—=lim7=1,故广=1•
”i（呵
81CO1
又当兀—2=1,即“3时，£
2（—2）"
=工2收敛.
n=\斤n=\n
8I8|
当尤一2=—1,即x=1时,工占（一2）1工（-1）冷收敛.
”=1兀n=l“
故丈4（—2）"
的收敛半径为厂=1,收敛区间为（1,3）,收敛域为[1,3]・//=!
乳
例2.求下列幕级数的收敛半径，收敛区间，收敛域.
⑴丈-厅宀宀
心2n+1
⑶.£
為7
（2）2"
“=|兀y
（1）.lim
sI
⑵加
⑷2总（心严•（_1厂—>
_兀'
）2〃+3
l_F+i
V72n+1
72=1
2"
+3
lim
“TOO
2〃+1
2/7+3
故卅
s
‘<
1,即卜|<
i吋，£
（—1）"
/|=1
缶严收敛时
吋,y（-'
r—1-宀|发散•于是厂=i.
幺2/?
+1
QO1QO1
又当X=1吋，E（->
rr"
2⑷=E（->
ry-7收敛•畀=]2n+12〃+1
半％=_i吋，f（-\y-1—x2w+,=y（-iy,+,—收敛.
円2n+l心2n+\
故E—x"
的收敛半径为厂=i,收敛区间为（-1,1）,收敛域为[-1,1]•N=1n
Toe
（-1厂
'
70+2）!
（-iy厂「
丿（2"
—>
oc
（2/?
+2）（2z?
+l）
XG（-OO,+00）.
s1
（一1）"
亠己的收敛半径为厂=+8,收敛区间为（-卩切，收敛域为/；
=!
（2町！
-00,00）.
“TOC
/r->
cc
（n+l）29/,+,
2）
n29n
八2〃+2
X—1）
2n
n2
“卄|9（刃+1）
-f.
2<
l,即卜—1|<
3吋,工」（x—1）"
收敛，而半加—if>
1,即
心n99
S1
兀-1|>
3吋，rj7（x-l）2z，发散.于是厂=3.
—001
又半—1=3,即兀=4吋，工召（兀_1广=£
2收敛.
n9n=in
I001
当x-l=-3,即x-2吋,工£
（—1广=£
（_1）"
4收敛.
”=1"
9/i=in
SI
故工-厅"
的收敛半径为心3,收敛区间为（-2,4）,收敛域为[-2,4].
心才9
故当一卜-1
9
n=l
（4）.limP竺,！
I=lim知⑴Ii
>
总（宀严
9rT
21
x—3
3（/?
+1）
3
2，故
当弘-3『<
1,即卜-l|v的吋,工亠（—3）曲收敛，而当：
卜-3n33
3“=1
即卜-3|〉a/5吋,y-Y（x-3）2n+1发散.于是厂=巧・
”=1«
3乂当x-3=V3,即x=3+V3时,£
丄■（兀-3严十”3八—n~
s18/q
当x-3=-巧，即x=3-亦吋,£
卞7（兀-3）2曲=£
-卑收敛.
心n3h=in
故丫色（兀-3）如的收敛半径为厂=的，收敛区间为（3-V3,3+V3）,收敛域
/i=i“3
为〔3-巧,3+的］・
例3.求下列幕级数的收敛域.
n
⑴•工
n=\
2z?
+111+x
（1）・令匕之，贝
I+X“=]2/7+
]
2〃+3
2n+1
/=lim
S±
1
2卄1
CC
乞老收敛.
8H2
（2）.£
lg"
兀；
⑶・
//=!
//=!
兀
八、“g1
丄严，于是幺2/7+1
“TS
2n+3
r故治詰收敛半径心，于是
工才齐"
收敛区间为（」」）•倚<
1,得2—1.
由-~-=-1,无解；
由-~-=1,得x=0.当尢=0吋,1+兀1+X
鼎（曰仝丄发散•
心2“+1
收敛域为（-1,+00）・
8800
（2）•令lgA=r,则£
lg"
兀=£
广，于是£
广收敛半径r=l,收敛区间为n=\/?
斤=1
由|lgx|<
l,得10"
<
兀<
10・
由lgx=-l,Wx=101;
由lgx=l,得x=10・
CO88
当x=io"
吋，x=£
©
io-1=£
（-1）"
n=ln=l/i=l
88CO
当A-=10吋，工lg"
X=Ylg"
10=工1"
/?
=1/i=l
s故工Ig"
兀收敛域为（10_,,10）.
”=1
18288
⑶・令丄"
则工$=,于是卒收敛半径r=l,收敛区间为
X斤=1Xn=l//=1
（-1,1）・
由-V1,得X>
1,或兀<
一1.
X
由丄=-1,得兀=-1；
由丄=，得x=l.
XX
828
当*-1吋，£
$=£
（-i）f发散・
”=1X/?
=1
8II2g
当兀=1吋，发散.
/|=1无/?
1收敛域为（Y°
j）U（l,+8）・
n=l兀
三•幕级数的运算
S"
工％兀=q（）+d］兀+Q?
兀2+・・・+d〃x〃+•…（a）
n-0
sn
=b{}+b}x+b-,x~+…++…（b）
定义•若幕级数@）与（b）在某"
（00）内有相同的和函数，则称幕级数Q）与（b）在"
（00）内相等.
定理1•若幕级数（小与（b）在某［7（0,5）内相等，则它们的同次幕系数相等，即ann=l，2,…），
定理2.若幕级数（a）与（b）的收敛半径分别为乙山，则
c£
吋"
=工咛“,卜|<
乙・
（1）
\/r=0丿n=0
8S8
工心丿"
土工b/“=工@”疋土仇兀"
）,卜|<
r・⑵n=Q//=0n=0
其,Pr=min（r?
/;
）,q=工akbn_k.
k=0
后学结
课教总
课外作业实践与思考和师“析
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